Размерность Хаусдорфа

Проанализируем результаты, приведенные в таблице:

с увеличением числа шагов n длина элементарного отрезка r стремится к нулю,

Ломаная состоит из N = 4ⁿ отрезков длины r = 1/3ⁿ. Длина ломаной линии L стремится к бесконечности по закону

r =(1/3) ⁿ ( 2а)

L = (4/3) ⁿ. (2б).

Выразим длину кривой Кох в общем виде. Для этого выразим n из (2а):

n = (1/ln3)*ln(1/ a)

Подставим n в (1б):

L= exp(n *ln(4/3))=exp((ln(4/3)/ln3)*ln(1/ a) (3)

Введем обозначение:

D=ln4/ln3=1.2619 (4),

L= a *(1/ a) D - 1 (5).

Из соотношения (4) видно, что D не зависит от номера поколения и является характеристикой данной кривой Кох, а точнее ее размерностью Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа кривой Кох - дробная(D = 1.2619).

Какова топологическая размерность данной фигуры?

Кривую Кох можно растянуть в прямую линию, значит ее топологическая размерность равна 1.

Самоподобие

Кривая Кох состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

Вывод:

Результаты показали, что триадная кривая Кох самоподобна, имеет дробную размерность, большую ее топологической размерности. Таким образом, при n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом. Фрактал представляет изощренную ломаную линию: она уже не линия, но еще и не плоскость. Фрактальная размерность, показывает насколько плотно линия заполняет плоскость, т.е. характеризует степень скрученности, извилистости линии.

Кривую Коха реализует следующая программа:

program Koh;

uses CRT, Graph;

var

gd,gm: Integer;

const

iter = 50000;

 

procedure Draw;

var

t, x, y, p: Real;

k: LongInt;

mx, my, rad: Integer;

 

begin

mx:= 10;

my:= 250;

rad:=600;

Randomize;

x:= 0.0;

y:= 0.0;

for k:= 1 To iter do

begin

p:= Random;

t:= x;

if p <= 1/2 then

begin

x:= 1/2 * x + 1/(2*sqrt(3)) * y;

y:= 1/(2*sqrt(3)) * t - 1/2 * y;

end

else

begin

x:= 1/2 * x - 1/(2*sqrt(3)) * y +1/2;

y:= -1/(2*sqrt(3)) * t - 1/2 * y + 1/(2*sqrt(3));

end;

PutPixel(mx + Round(rad * x), my - Round(rad * y), 2);

end;

end;

 

begin

gd:= Detect;

InitGraph(gd,gm,'');

Draw;

ReadKey;

CloseGraph;

end.

Снежинка Кох

Описание снежинки Коха, отличающейся от кривой его же имени лишь тем, что строится на основе равностороннего треугольника, в результате чего получается бесконечная прямая, покрывающая ограниченную плоскость, с помощью L-Systems в программе Fractint будет выглядеть так:

; Adrian Mariano from The Fractal Geometry of Nature by Mandelbrot

Koch1 {

;устанавливаем угол поворота 360/6=60 градусов

Angle 6

; Начальный рисунок для построения

Axiom F--F--F

; Правило преобразования символов

F=F+F--F+F

}

В данном описании геометрические значения символов следующие:

F обозначает прочертить отрезок

+ поворот по часовой стрелке

- поворот против часовой стрелки

Вывод

Результаты показали, что снежинка Кох самоподобна, имеет дробную размерность, большую ее топологической размерности. Таким образом, при n стремящемся к бесконечности снежинка Кох становится фрактальным объектом. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломанных в пределе стремится к бесконечности, хотя площадь заключённого внутри ломанных участка плоскости остаётся конечной. Ещё два маленьких замечания: к предельной кривой ни в одной точке нельзя провести касательную, а площадь снежинки стремится к 8/5 от площади исходного треугольника.

Это фигура бесконечной длины, но бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

3. Салфетка Серпинского