Фрактальная размерность

"Геометры говорят, что линия есть длина без ширины, а мы скептики, не можем понять длины, не имеющей ширины, ни в чувственном, ни в умопостигаемом". Секст Эмпирик, "Против ученых"

Как мы измеряем длину, площадь, объем? Мы говорим, " дорога, длиной в 1 км ", " комната площадью 20 м² ", " ведро объемом 10 дм³ ". Обычно мы пользуемся приемами, которыми нас снабдила евклидова геометрия:

o точка имеет нулевую размерность,

o любая линия имеет одно измерение,

o плоскость - два измерения,

o куб - три измерения.

Эти основные размерности называют топологическими. Топологическая размерность i - это число измерений, с помощью которых можно однозначно задать положение точки на геометрическом объекте. В рассмотренных выше примерах i всегда целое число.

Как измерить размерность?

Понятие размерности является центральным понятием, из которого "выросла" фрактальная "идеология". Размерность зависит от способа, которым мы ее вычисляем. Чтобы определить размерность пространства D, разобьем все n-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра eps и объемом epsⁿ — рис.1. Пусть N(eps) — минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению:

Эту величину обычно называют хаусдорфовой или фрактальной размерностью.

Рассмотрим пример вычисления размерности Хаусдорфа.Возьмем квадрат площадью 100 м². Разделим каждую сторону на r частей. Пусть r = 10: получим N = 100 подобных объектов, т.е. 100 малых квадратов, каждый из которых подобен большому квадрату. Если мы умножим любой из меньших квадратов на 10, мы получаем первоначальный большой квадрат. Вычислим размерность D большого квадрата по формуле (2):

D = lg(100)/lg(10) = 2

Для квадрата Хаусдорфова размерность совпала с топологической. Мандельброт дал следующее определение фрактала:

"Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому";.