Свойства множества

Геометрические свойства множества:

Легко видеть, что при сумма периметров треугольников, входящих в множество S_n, стремится к бесконечности, а сумма их площадей к нулю. Поэтому общая длина каркаса бесконечна, площадь салфетки же равна нулю.

Размерность салфетки Серпинского:

Для вычисления фрактальной размерности салфетки Серпинского будем делить плоскость на ячейки в форме правильных треугольников со стороной eps. Число треугольных пор все меньшего и меньшего масштаба в нем бесконечно. Число черных треугольников в этом построении растет как 3 ⁿ, где n — номер шага, а длина их стороны уменьшается как 2^{– n} . Поэтому фрактальная размерность равна
Тогда множество S_n будет покрытием S и при этом eps=(1/2)ⁿ, N(eps)=3ⁿ. Поэтому D = ln3/ln2 = 1/5849.

Какова топологическая размерность салфетки Серпинского?
Обычная плоская фигура имеет топологическую размерность Самоподобие

Салфетка содержит бесконечную сетку - каркас, образованный сторонами всех участвующих в построении треугольников. Салфетка самоподобна - она состоит из кусков, каждый из которых подобен целому с коэффициентом подобия 1/2. "Выколем" точки, в которых эти куски соединяются, - середины сторон исходного треугольника. Тогда салфетка распадётся на три салфетки меньшего размера. С ними проделаем то же самое. Что станет с салфеткой, если этот процесс продолжить до бесконечности, выколов лишь счётное множество точек? Салфетка полностью рассыплется!

Итак, взяв любой из образовавшихся треугольников и увеличив его - получим точную копию целого, т.е множество самоподобно.

Вывод

Результаты показали, что салфетка Серпинского самоподобна, имеет дробную размерность, меньшую ее топологической размерности. Таким образом, при n стремящемся к бесконечности салфетка Серпинского становится фрактальным объектом.

«Дракон»

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла. При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый "дракон" десятого порядка.