Теоремы двойственности в линейном программировании.

Теорема(основная теорема двойственности). Если x0 и у0 — допустимые решения прямой и двойственной задач и если cTx0=bTy0, то x0 и у0 — оптимальные решения пары двойственных задач.

Теорема. Если в оптимальном решении прямой задачи i-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю.

Смысл этой теоремы состоит в следующем. Если некоторый ресурс bi имеется в избытке и i-е ограничение при оптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то оно становится несущественным, и оптимальная цена соответствующего ресурса равна 0.

Теорема. Если в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей переменной прямой задачи должно быть равно нулю.

Экономическая интерпретация этой теоремы: поскольку величины yj представляют собой цены соответствующих ресурсов, то — это затраты на i-й технологический процесс, величина сi — прибыль от реализации на единицу изделия. Поэтому с экономической точки зрения теорема означает следующее: если i-й технологический процесс оказывается строго невыгодным с точки зрения оптимальных цен ресурсов уопт, то в оптимальном решении прямой задачи интенсивность использования данного технологического процесса хi должна быть равна 0.Таким образом, теорема выражает принцип рентабельности оптимального организованного производства. Теорема (теорема существования). Прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения тогда и только тогда, когда обе они имеют допустимые решения.

Теорема (теорема двойственности). Допустимый вектор x0 оптимален тогда и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение уо, что

.