Общие сведения. Рассмотрим тело, закрепленное на оси спиральной пружины
Рассмотрим тело, закрепленное на оси спиральной пружины. Если повернуть тело на некоторый угол j, то вследствие закручивания пружины возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент М, возвращающий систему в исходное состояние, и возникнут крутильные колебания. Крутящий момент М пропорционален углу поворота j
где D - модуль кручения, зависящий от механических свойств пружины. Если пренебречь силами сопротивления, то основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид
где J – момент инерции, e - угловое ускорение.
Из уравнений (1) и (2) и с учетом (3) следует
Это уравнение можно переписать в виде
Введем обозначения Тогда уравнение (5) примет вид
Это дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Решением этого уравнения являются функции синуса ил косинуса (гармонические функции) где jо – максимальное (амплитудное) значение угла поворота, wо – круговая (циклическая) частота, a - начальная фаза. Таким образом, крутильные колебания являются гармоническими колебаниями.
Если в системе имеются силы трения, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, то есть колебания будут затухающими. За счет сил трения возникает тормозящий момент где r – коэффициент сопротивления, Тогда основное уравнение динамики вращательного движения запишется так
Введя обозначения
получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
Решением этого уравнения является следующая функция b - коэффициент затухания
Она уменьшается с течением времени.
Степень затухания характеризуется несколькими величинами – коэффициентом затухания Логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду T, называется логарифмическим декрементом затухания.
l=bT (11) Время bt=1 (12)
|