Рассмотрим несколько простых случаев.1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть , где . Тогда и
так как , т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны) (рис. 2.3). Рис. 2.3 2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть , где . Тогда . Отсюда
На рис. 2.4 изображена амплитуда результирующего колебания А, равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе). Рис. 2.4 3. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом:
Из уравнения (2.2.6) следует, что и будет изменяться в соответствии с величиной . Поэтому при сложении некогерентных колебаний не имеет смысла говорить о сложении амплитуд, но в некоторых случаях наблюдаются вполне определенные закономерности. Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Строго говоря, это уже не гармонические колебания. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и , причем . Начало отсчета выбираем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: Сложим эти выражения, пренебрегая , так как .
Результирующее колебание (2.2.7) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω и амплитудой А б, которая изменяется по следующему периодическому закону:
. Характер зависимости (2.2.8) показан на рис. 2.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания, а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (2.2.7) амплитуды. Рис. 2.5 Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д. Вообще, колебания вида называются модулированными. Частные случаи: амплитудная модуляция и модулирование по фазе или частоте. Биение – простейший вид модулированных колебаний. Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω: . Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (то есть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простых гармонических колебаний). Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω,..., называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания. | ||||||||||||||||||||
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний | ||||||||||||||||||||
Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух взаимноперпендикулярных колебаниях:
Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примем . Разность фаз между обоими колебаниями равна: . Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t. Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы , т.е. ; . или . Распишем второе уравнение через косинус суммы: . Отсюда . Возведем обе части в квадрат: ; . Окончательное уравнение:
В результате мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно x и y произвольно (рис. 2.6). Рис. 2.6 | ||||||||
Фигуры Лиссажу | ||||||||
Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.2). 1. Начальные фазы колебаний одинаковы: т.е. Тогда уравнение (2.3.2) примет вид: или ; отсюда получим уравнение результирующего колебания:
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.7, а). Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.
Такие колебания называются линейно поляризованными. 2. Начальная разность фаз равна π. Тогда ,следовательно ; . Уравнение колебания в этом случае
То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис. 2.7, б). Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:
3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение (2.3.2), учитывая, что .
Это уравнение эллипса с полуосями А 1 и А 2 (рис. 2.7, в). Случай эллиптически поляризованных колебаний. При получим уравнение окружности (циркулярно-поляризованные колебания). 4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат. Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все кривые – это эллипсы (даже прямая – частный случай эллипса). Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур. В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когда Если , то в результате будут получаться уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу. В табл. 1 приведены несколько фигур Лиссажу для разных соотношений частот колебаний и заданной разности фаз. Таблица 1
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свободные затухающие механические колебания | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).
Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например маятник). Тогда сила трения (или сопротивления)
,
где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения.
Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x:
,
где kx – возвращающая сила, r υ x – сила трения. Это уравнение можно переписать:
, отсюда следует: .
Введем обозначения: ; .
Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающее колебательное движение, запишем так:
Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при ):
Здесь А 0 и φ0 определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β и ω – из самого уравнения. Найдем круговую частоту ω. Здесь она уже не равна . Для этого найдем первую и вторую производные от x: , Подставим эти значения в (3.1.1) и сократим на :
. Сократим на и выразим ω: , , где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Из этого выражения ясно, почему решение (3.1.1) будет только при . Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значения ω, β, ω0 будут различными. Например, для колебаний под действием упругой силы ; ; Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение амплитуды. Поэтому называть ω – циклической (повторяющейся, круговой) частотой можно лишь условно. По этой же причине и
называется условным периодом затухающих колебаний. | ||||||||
Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания | ||||||||
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и (рис. 3.1): , где β – коэффициент затухания. Рис. 3.1 Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ: ; . Выясним физический смысл χиβ. Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. отсюда Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда ; ; . Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз. Если χ = 0,01, то N = 100. При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль (), а (), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 3.2). Рис. 3.2 Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения. | |||
Вынужденные механические колебания | |||
Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– r υ), действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:
– основное уравнение колебательного процесса, или
где fx = Fx / m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону: Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω. Уравнение установившихся вынужденных колебаний:
Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой. Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3). Из (3.3.2) получим:
Преобразуем и (3.3.2) через косинус:
Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой. Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):
Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды: – амплитуда ускорения; – а мплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы, причем Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов: . Рис. 3.3 Из рис. 3.2 видно, что . Найдем амплитуду А:
Таким образом, и . При постоянных F 0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0. Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения
Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения . Проанализируем выражение (3.3.7). 1) (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда – статическая амплитуда (колебания не совершаются). 2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ) амплитуда растет и при резко возрастает (). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω () амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4). Рис. 3.4 3) Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю: 4ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю: , отсюда
где ωрез – резонансная частота. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез называется резонансом. Для консервативной системы, т.е. из (3.3.9) следует ; для диссипативной ωрез несколько меньше собственной круговой частоты ω0 (рис. 3.4). С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при . | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Автоколебания | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Наблюдая колебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра. При этом сама колебательная система производит отбор энергии ветра в нужный момент времени и в количестве, требуемом для компенсации неизбежно присутствующих энергетических потерь. Колебания в этих системах начинаются самопроизвольно за счет начальных флуктуаций (дрожаний) колеблющихся предметов. Частота и амплитуда установившихся колебаний определяется как параметрами самой системы, так и параметрами ее взаимодействия с ветром. Такие колебания являются примерами автоколебаний, а сами системы – примерами автоколебательных систем. Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями. Эти часы периодически «черпают» энергию при опускании гирь, подвешенных к цепочке, перекинутой через шестерню часового механизма. Принцип работы всех автоколебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рис. 3.5. Рис. 3.5 Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи. Схематически это изображено в виде некоторого запирающего канал АВ устройства (ключа), который управляется самой системой. Так, в зависимости от положения и скорости колеблющегося листа на ветру будет различной мощность сил аэродинамического давления. В конструкции часового механизма (рис. 3.6) присутствует специальное устройство – анкер, выполняющий роль ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в колебание самим маятником часов. При определенных положениях он «отпирает» одну из шестерен часового механизма. В этот момент времени шестерня проворачивается за счет момента сил, приложенного со стороны натянутой цепи с грузом. Груз при этом опускается на небольшую величину. Количество энергии, поступающей в часовой механизм, равно по величине уменьшению потенциальной энергии груза в поле силы тяжести. Рис. 3.6 Важно отметить, что любая автоколебательная система нелинейна. На схеме это отражено наличием в системе обратной связи нелинейного ограничителя сигнала, управляющего ключом. Нелинейность системы проявляется в том, что при начальном нарастании амплитуды колебаний, порожденных флуктуациями, поступление энергии в систему за каждый последующий период колебаний увеличивается нелинейно, т.е. прирост поступающей энергии становится все меньше и меньше. Естественно, что амплитуда колебаний достигнет такой установившейся величины, при которой приток энергии и ее потери будут равны. |
Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 365. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы! |
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения... |
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности... |
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями... |
Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм... |
|
Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей:
- трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...
|
|
Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В центральное приемное отделение больные могут быть доставлены:
1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения острого или обострения хронического заболевания...
|