Рассмотрим несколько простых случаев.
1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть
так как Рис. 2.3 2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть
На рис. 2.4 изображена амплитуда результирующего колебания А, равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе). Рис. 2.4 3. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом:
Из уравнения (2.2.6) следует, что Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Строго говоря, это уже не гармонические колебания. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и Сложим эти выражения, пренебрегая
Результирующее колебание (2.2.7) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω и амплитудой А б, которая изменяется по следующему периодическому закону:
Характер зависимости (2.2.8) показан на рис. 2.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания, а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (2.2.7) амплитуды. Рис. 2.5 Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д. Вообще, колебания вида Любые сложные периодические колебания
Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (то есть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простых гармонических колебаний). Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω,..., называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания. | |||||||||||||||||||||
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний | |||||||||||||||||||||
Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух взаимноперпендикулярных колебаниях:
Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примем Разность фаз между обоими колебаниями равна: Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t. Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы
Распишем второе уравнение через косинус суммы:
Отсюда Возведем обе части в квадрат:
Окончательное уравнение:
В результате мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно x и y произвольно (рис. 2.6). Рис. 2.6 | ||||||||
Фигуры Лиссажу | ||||||||
Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.2). 1. Начальные фазы колебаний одинаковы:
Тогда уравнение (2.3.2) примет вид:
отсюда получим уравнение результирующего колебания:
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.7, а). Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.
Такие колебания называются линейно поляризованными. 2. Начальная разность фаз равна π. Тогда
Уравнение колебания в этом случае
То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис. 2.7, б). Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:
3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение (2.3.2), учитывая, что
Это уравнение эллипса с полуосями А 1 и А 2 (рис. 2.7, в). Случай эллиптически поляризованных колебаний. При 4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат. Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все кривые – это эллипсы (даже прямая – частный случай эллипса). Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур. В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когда Таблица 1
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свободные затухающие механические колебания | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при
Здесь А 0 и φ0 определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β и ω – из самого уравнения. Найдем круговую частоту ω. Здесь она уже не равна Для этого найдем первую и вторую производные от x:
Подставим эти значения в (3.1.1) и сократим на
Сократим на
где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Из этого выражения ясно, почему решение (3.1.1) будет только при Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значения ω, β, ω0 будут различными. Например, для колебаний под действием упругой силы
Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение амплитуды. Поэтому называть ω – циклической (повторяющейся, круговой) частотой можно лишь условно. По этой же причине и называется условным периодом затухающих колебаний. | ||||||||
Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания | ||||||||
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Вынужденные механические колебания | |||
Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– r υ), действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:
![]()
где fx = Fx / m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону: Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω. Уравнение установившихся вынужденных колебаний:
Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой. Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3). Из (3.3.2) получим:
Преобразуем и (3.3.2) через косинус:
Обозначим Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):
Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:
Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:
Рис. 3.3 Из рис. 3.2 видно, что
Таким образом, При постоянных F 0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0. Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения
Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения
Проанализируем выражение (3.3.7). 1) – статическая амплитуда (колебания не совершаются). 2) Рис. 3.4 3) 4ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:
где ωрез – резонансная частота. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез называется резонансом. Для консервативной системы, т.е. С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Автоколебания | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Наблюдая колебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра. При этом сама колебательная система производит отбор энергии ветра в нужный момент времени и в количестве, требуемом для компенсации неизбежно присутствующих энергетических потерь. Колебания в этих системах начинаются самопроизвольно за счет начальных флуктуаций (дрожаний) колеблющихся предметов. Частота и амплитуда установившихся колебаний определяется как параметрами самой системы, так и параметрами ее взаимодействия с ветром. Такие колебания являются примерами автоколебаний, а сами системы – примерами автоколебательных систем.
Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями. Эти часы периодически «черпают» энергию при опускании гирь, подвешенных к цепочке, перекинутой через шестерню часового механизма.
Принцип работы всех автоколебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рис. 3.5.
![]() ![]() |
Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 380. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы! |
|
|
|
|
Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем
1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...
|
Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...
|