Вывод формулы трапеций

Известно, что если функция непрерывна на отрезке и известна её первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

где , штрихом вверху обозначен знак операции дифференцирования первообразной , по независимой переменной .

Однако во многих случаях первообразная не может быть найдена или не имеет смысла (если задана таблично). Поэтому важное значение имеют численные методы вычисления определенных интегралов. Численные методы являются приближенными, в основу их алгоритмов положен геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл

(6.1)

представляет собой площадь, ограниченную кривой подинтегральной функции , осью абсцисс и прямыми и (см. рис. 6.1).

Обычно, обозначают Для вычисления искомой площади, отрезок разбивают на интервалов, каждый величиной

(6.2)

которая называется шагом интегрирования. На каждом интервале, величиной h, площадь ‘элементарной’ фигуры, ограниченной кривой подинтегральной функции , 2-мя ординатами (например, и ) и осью абсцисс, заменяют площадью, ограниченной прямой, теми же ординатами и осью абсцисс, т.е. площадью ‘элементарной’ трапеции. Отсюда следует название – метод трапеций. В целом, на отрезке кривая подинтегральной функции заменяется (аппроксимируется) кусочно-линейной функцией (см. рис. 6.1).

 

Рис. 6.1. Геометрический смысл определенного интеграла.

 

Площадь ‘элементарной’ трапеции для интервала с номером вычисляется по формуле:

(6.3)

 

а площадь, ограниченная кривой подынтегральной функции осью абсцисс и ординатами и , приближенно будет равна сумме площадей ‘элементарных’ трапеций. Тогда можно записать:

 

(6.4)

 

Эту запись называют формулой трапеций. В формуле (6.4) последняя форма записи является удобной для составления программ на алгоритмических языках.