no1. Определение комплексных чисел
Определение 1. Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары  вещественных чисел  и  , при этом для этих пар понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся по следующим правилам (аксиомам):
I.  (равенство к.ч.)
II.  (сумма к.ч)
III.  (произведение к.ч.)
IV.  (отождествление некоторых к.ч с в.ч.)
Множество всех комплексных чисел обозначается буквой  .
Свойства операций сложения и умножения к.ч.
Легко проверить, что операции сложения
коммутативна: 
и
ассоциативна: 
Комплексное и, в соответствии с IV, одновременно вещественное число  очевидно обладает тем свойством, что
Комплексное число
называется противоположным к.ч. , при этом очевидно
Нетрудно убедиться, что операция умножения комплексных чисел.
коммутативна: 
ассоциативна: 
дистрибутивна по отношению к сложению:
Отметим, что для любого к.ч.  в соответствии с определением операции умножения
и, следовательно пара  играет роль единицы при умножении к.ч., что согласуется с тем, что комплексное число отождествляется с вещественным числом 1.
Вообще отметим, что в соответствии с аксиомами III и IV
Действительно,
Вычитание и деление к.ч.
Разность к.ч. вводится на основе операции сложения и понятия противоположного к.ч. по следующему правилу:
Пусть к.ч. отлично от нуля, т.е. отлично от нуля хотя бы одно из вещественных чисел  и  . Тогда к.ч.
называется обратным к к.ч.  .
Очевидно,
 .
Операция деления к.ч. вводится на основе операции умножения и введенного выше понятия обратного к.ч. А именно, частным от деления к.ч.  на к.ч.  называется к.ч.
Замечание1. Нетрудно показать, что при умножении числителя и знаменателя дроби  на одно и то же к.ч.  она не изменится, т.е
Комплексное число
называется комплексно сопряженным к (для) к.ч.
.
Ясно, что к.ч.
,
в свою очередь, является комплексно сопряженным к к.ч.
т.е. комплексно сопряженное к комплексно сопряженному для к.ч.  есть само к.ч. .
Для любой пары комплексно сопряженных чисел
и  ,
очевидно,
 +  .
Действительно,
 + 
Таким образом произведение  к.ч. на ему комплексно сопряженное является вещественным числом.
no2. Алгебраическая форма к.ч.
К.ч.  называется мнимой единицей и обозначается буквой  .
Таким образом,  .
По определению умножения к.ч. имеем
Следовательно,
Для любого комплексного числа , очевидно, что
(здесь нужно учесть, что  а по аксиоме IV  ).
Запись к.ч. в виде
называется алгебраической формой записи этого к.ч., при этом вещественное число  называют вещественной частью к.ч.  и обозначают  , а в.ч.  называют его мнимой частью и обозначают  (
Ясно, что число, комплексно сопряженное к к.ч.  в алгебраической форме записи имеет вид
 ,
а операции сложения, умножения, вычитания и деления при использовании алгебраической форме записи к.ч. производятся по формулам:
 ,
 ,
 ,
 .
Необходимости запоминать две последние формулы нет. Для того, чтобы получить третью из этих формул достаточно перемножить выражения, стоящие в ней слева по обычным правилам действия с алгебраическими выражениями, затем привести подобные члены и учесть, что  . В свою очередь, что бы получить последнюю из них, с учетом замечания 1, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на к.ч. сопряженное знаменателю и затем произвести умножение к.ч. в числителе и знаменателе полученной дроби.
Примеры
1. 
2. 
no3 .Тригонометрическая форма к.ч.
Пусть на плоскости введена декартова прямоугольная система координат  . Тогда каждому к.ч. можно сопоставить точку на этой плоскости с координатами и по осям  и  , соответственно. При этом каждому к.ч. соответствует точка на этой плоскости, а каждой точке на ней - определенное к.ч.
Таким образом, к.ч. соответствует точка  . Длину ее радиус-вектора  обозначим  ,
 ,
Предполагая, что  (т.е., что  угол между радиус-вектором и положительным направлением оси , отсчитываемым от нее против часовой стрелки, обозначим через  . Тогда для координат точки  будем иметь формулы
и, следовательно, к.ч. можно записать в виде
Такая форма записи к.ч.  называется тригонометрической формой записи этого к.ч., при этом (заведомо неотрицательное) вещественное число  называют модулем к.ч. и обозначают  , а число  называют аргументом к.ч. и обозначают  .
Модуль к.ч. определяется однозначно,
а аргумент  , - с точностью до слагаемого, кратного  , исходя из уравнений
 .
Подчеркнем здесь еще раз, что аргумент не определен для к.ч.  .
Примеры
3. 
4. 
5. 
6.  , где -угол первой четверти, косинус которого равен  .
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
Пусть
и
Тогда
|
(1)
|
Таким образом,
 ,
| (2)
|
 ,
| (3)
|
т.е. при умножении к.ч. их модули перемножаются, а аргументы складываются (модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей).
Исходя из формулы (1) индукцией по  легко устанавливается, что для любых к.ч.
имеет место формула
|
(4)
|
а следовательно имеют место и формулы
 ,
| (5)
| и
 ,
| (6)
|
no4 .Извлечение корня  -ой степени из комплексного числа. Положим в (4)
 ,
 .
получим формулу -ой степени к.ч.
.
 .
| (7)
|
При  отсюда следует формула Муавра:
 .
| (8)
| Предыдущую формулу (7) также иногда называют формулой Муавра.
Нетрудно убедиться, что формула Муавра (8) справедлива не только для целых положительных , но и при неположительных целых .
Определение 1. Пусть  - натуральное число. Корнем -ой степени из к.ч.  называется к.ч.  такое, что  . Корень -ой степени из к.ч.  обозначается  .
Найдем все корни -ой степени из к.ч. . Если  , то единственным значением является число 0. Поэтому пусть  . Запишем  в тригонометрической форме
и будем искать  также в тригонометрической форме
 .
С учетом формулы (7) запишем равенство  в виде
 .
Но данное равенство равносильно следующим равенствам:
 ,
и
 ,
(здесь учитывается многозначность аргумента к.ч.).
Следовательно,
 ,
а
Таким образом, всевозможные корни -ой степени и |
