Пусть в некотором линейном пространстве векторы 
, 
,…, 
образуют базис и заданы 2 вектора 
и 
. С учетов 8 свойств линейных операций над векторами выполнены равенства 
, 
, 
. Итак, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются, при умножении векторов на число их соответствующие координаты умножаются на это число.
Как найти длину вектора и как охарактеризовать направление вектора? Пусть в реальном пространстве задан вектор 
, тогда его длина может быть найдена по формуле 
. Направление вектора удобно характеризовать направляющим вектором 
единичной длины с тем же направлением. Этот вектор обычно записывают в виде 
, где 
- углы между вектором и осями координат. Сами величины 
называются направляющими косинусами вектора 
.
Если рассматриваются векторы на плоскости, то все формулы формально остаются справедливыми – просто в них исчезает третья координата. Уточним обозначения.
Пусть на плоскости задан вектор 
, тогда его длина может быть найдена по формуле 
. Направление вектора удобно характеризовать направляющим вектором 
единичной длины с тем же направлением. Этот вектор обычно записывают в виде 
, где 
- угол между вектором и осью абсцисс.
