В произвольной точке плотины.

В первом приближении задаёмся функцией напряжений в виде следую­щего полинома

φ(х, у) = , (1)

где a, b, c, d – неизвестные постоянные коэффициенты.

Получаем выражения напряжений

(2)

Постоянные a, b, c, d определяем из граничных условий

(3)

на вертикальной и наклонной гранях (рис. 2,а).

На вертикальной грани

x = 0, ℓ = cos(ν,x) = cos180⁰ = –1, m = cos(ν,y) = cos90⁰ = 0,

p_ν,x = γ_вy, p_ν,y = 0, σ_x = dy, σ_y = by, τ_xy = –cy

условия (3) принимают вид

(3)

Отсюда d = –γ_в, c = 0 и выражения напряжений (2) можно записать следующим образом

(2^*)

На наклонной грани

x = y∙tgβ, ℓ = cos(ν,x) = cosβ, m = cos(90⁰ + β) = –sinβ,

p_ν,x = p_ν,y = 0, σ_x = –γ_вy, σ_y = a y∙tgβ + by

τ_xy = –by∙tgβ – γ_кy∙tgβ,

поэтому условие (3) приводится к следующей системе уравнений

0 = –γ_вy∙cosβ – by∙tgβ(– sin β) –γ_кy∙tgβ(– sin β)

0 = –by∙tgβ∙cosβ – γ_кy∙tgβ∙cosβ + (a y∙tgβ + by)(– sinβ)

 

или

–γ_вctg²β + b + γ_к = 0

a tgβ + 2b + γ_к = 0

Решая систему получаем

b = γ_вctg²β – γ_к

a = –2γ_вctg³β + γ_кctgβ

С учетом найденных величин a, b, c, d приводим выражения (2*) к виду

(4)

Выполняем проверку выражений компонентов напряженного состояния.

Дифференцируем зависимости (4)

Подставляя полученные величины производных в уравнения равновесия

0 + 0 = 0

–γ_вctg²β + γ_вctg²β – γ_к + γ_к = 0

убеждаемся, что найденные выражения компонентов напряженного состояния в произвольной точке плотины, удовлетворяют этим уравнениям.

Дважды дифференцируем зависимости (4)

Подставляем вторые производные в уравнение совместности

²(σ_х + σ_у) =

= + + +

Выражения названных компонентов удовлетворяют уравнению совмест­ности деформаций в напряжениях.

В окрестности произвольной точки Сна оси упри х = 0выделяем малый прямоугольный элемент единичной толщины (рис. 26). Напряжения в этой точ­ке

σ_х = –γ_ву, σ_у = (γ_вctg²β – γ_к)y, τ_xy = 0

внешняя гидростатическая нагрузка

Ρ_νx = γ_ву

Составляем уравнения равновесия выделенного элемента

ΣXί = 0, Ρ_νx1dy – σ_x1dy = 0, γ_ву – γ_ву = 0,

ΣYί = 0, σ_y1dx – σ_y1dx = 0,

из которых видно, что найденные напряжения удовлетворяют условиям на по­верхности вертикальной грани.

Рассматриваем малый треугольный элемент в окрестности произвольной точки Dнаклонной грани плотины при x = y∙tgβ (pиc.2в).

Напряжения в указанной точке

σ_x = –γ_by

σ_y = –γ_вy∙ctg²β

τ_xy = –γ_вy∙ctgβ

внешняя нагрузка отсутствует.

Уравнения равновесия элемента

ΣXί = 0, σ_x1dy – τ_yx1dx = 0,

ΣYί = 0, τ_xy1dy – σ_y1dx = 0.

или

γ_вy∙dy – γ_вy∙ctgβ∙dx = 0,

γ_вy∙ctgβ∙dy – γ_вy∙ctg²β∙dx = 0,

или

1 – ctgβ = 0,

1 – ctgβ = 0,

т.к. = tgβ, то

1 – tgβ∙ctgβ = 0, 1 – 1 = 0,

1 – tgβ∙ctgβ = 0, 1 – 1 = 0

и, следовательно, найденные напряжения удовлетворяют условиям на поверх­ности наклонной грани.

Дальнейшая корректировка выражений (4) для компонентов на­пряжен­ного состояния не требуется, поскольку они удовлетворяют дифференциаль­ным уравнениям равновесия, уравнению совместности деформаций и гранич­ным условиям.