Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нормальные вероятности





Теперь мы знаем, как преобразовывать наши необработанные данные в стан­дартные единицы и как построить кривую N'(Z) (т.е. как найти высоту кривой, или координату Y, для данной стандартной единицы), а также N'(X) (из уравнения (3.14), т.е. саму кривую без первоначального преобразования в стандар­тные единицы). Для практического использования нормального распределе­ния вероятности нам надо знать вероятность определенного результата. Это определяется не высотой кривой, а площадью под кривой. Эта площадь зада­ется интегралом функции N'(Z), которую мы до настоящего момента изучали. Теперь мы займемся N(Z), интегралом N'(Z), чтобы найти площадь под кри­вой (т.е. вероятности)1.

где Y=1/(1+2316419*ABS(Z))

и ABSQ = функция абсолютного значения;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

При расчете вероятности мы всегда будем преобразовывать данные в стандарт­ные единицы. То есть вместо функции N(X) мы будем использовать функцию

N(Z), где:

(3.16) Z=(X-U)/S,

где U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных.

Теперь обратимся к уравнению (3.21). Допустим, нам надо знать, какова вероят­ность события, не превышающего +2 стандартных единицы (Z = +2).

Y= 1/(1 +2316419*ABS(+2)) =1/1,4632838 =0,68339443311

(3.15a) N'(Z) = 0,398942 * ЕХР(-(+2^2/2))

 

= 0,398942 *ЕХР (-2)=0,398942*0,1353353=0,05399093525

Заметьте, мы можем найти высоту кривой при +2 стандартных единицах. Подставляя полученные значения вместо Y и N'(Z) в уравнение (3.21), мы можем получить вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы:

N(Z) = 1 - N'(Z) * ((1,330274429 * Y^ 5) -

- (1,821255978 * Y^4) + (1,781477937 * Y^ 3) -

- (0,356563782 * Y ^ 2) + (0,31938153 * Y))

= 1-0,05399093525* ((1,330274429* 0,68339443311^5)-

- (1,821255978 * 0,68339443311 ^ 4 + 1,781477937 * 0,68339443311^ 3) - - (0,356563782 * 0,68339443311 ^2) + 0,31938153 * 0,68339443311))

= 1 - 0,05399093525 * (1,330274429 * 0,1490587) -

- (1,821255978 * 0,2181151 + (1,781477937 * 0,3191643)-

- (0,356563782 * 0,467028 + 0,31938153 - 0,68339443311))

 

1- 0,05399093525 * (0,198288977 - 0,3972434298 + 0,5685841587 -

-0,16652527+0,2182635596)

= 1 - 0,05399093525 * 0,4213679955 = 1 - 0,02275005216= 0,9772499478

Таким образом, можно ожидать, что 97,72% результатов в нормально распреде­ленном случайном процессе не попадают за +2 стандартные единицы. Это изоб­ражено на рисунке 3-8.

Чтобы узнать, какова вероятность события, равного или превышающего за­данное число стандартных единиц (в нашем случае +2), надо просто изменить уравнение (3.21) и не использовать условие «Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)». Поэтому вторая с конца строка в последнем расчете изменится с

= 1 - 0,02275005216 на 0,02275005216

Таким образом, с вероятностью 2,275% событие в нормально распределенном случайном процессе будет равно или превышать +2 стандартные единицы. Это показано на рисунке 3-9.

Рисунок 3-8 Уравнение (3.21) для вероятности Z=+2

Рисунок 3-9 Устранение оговорки «Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)» в уравнении (3.21)

До сих пор мы рассматривали площади под кривой 1-хвостых распределений вероятности. То есть до настоящего момента мы отвечали на вопрос: «Какова вероятность события, которое меньше (больше) заданного количества стан­дартных единиц от среднего?» Предположим, теперь нам надо ответить на та­кой вопрос: «Какова вероятность события, которое находится в интервале между определенным количеством стандартных единиц от среднего?» Други­ми словами, мы хотим знать, как подсчитать 2-хвостые вероятности. Посмот­рим на рисунок 3-10. Он представляет вероятности события в интервале двух стандартных единиц от среднего. В отличие от рисунка 3-8 этот расчет вероят­ности не включает крайнюю область левого хвоста, область меньше -2 стан­дартных единиц. Для расчета вероятности нахождения в диапазоне Z стандар­тных единиц от среднего вы должны сначала рассчитать 1-хвостую вероят­ность абсолютного значения Z с помощью уравнения (3.21), а затем получен­ное значение подставить в уравнение (3.22), которое дает 2-хвостые вероятно­сти (то есть вероятности нахождения в диапазоне ABS(Z) стандартных единиц от среднего):

(3.22) 2-хвостая вероятность =1-((1- N(ABS(Z))) * 2)

Если мы рассматриваем вероятности наступления события в диапазоне 2 стандар­тных отклонений (Z = 2), то из уравнения (3.21) найдем, что N(2) = 0,9772499478 и можно использовать полученное значение для уравнения (3.22):

2-хвостая вероятность =1-((1- 0,9772499478) * 2) =1-(0,02275005216*2) = 1 - 0,04550010432 = 0,9544998957

Таким образом, из этого уравнения следует, что при нормально распределенном случайном процессе вероятность события, попадающего в интервал 2 стандарт­ных единиц от среднего, составляет примерно 95,45%.

Как и в случае с уравнением (3.21), можно убрать первую единицу в уравне­нии (3.22), чтобы получить (1 - N(ABS(Z))) * 2, что представляет вероятности события вне ABS(Z) стандартных единиц от среднего. Это отображено на рисун­ке 3-11. Для нашего примера, где Z = 2, вероятность события при нормально рас­пределенном случайном процессе вне 2 стандартных единиц составляет:

2-хвостая вероятность (вне) = (1 - 0,9772499478) * 2 =0,02275005216*2 =0,04550010432

Наконец, мы рассмотрим случай, когда надо найти вероятности (площадь под кривой N'(Z)) для двух различных значений Z.

Рисунок 3-10 2-хвостая вероятность события между +2 и -2 сигма

Рисунок 3-11 2-хвостая вероятность события, находящегося вне 2 сигма

 

Допустим, нам надо найти площадь под кривой N'(Z) между -1 стандартной еди­ницей и +2 стандартными единицами. Есть два способа расчета. Мы можем рассчитать вероятность, не превыша­ющую +2 стандартные единицы, при помощи уравнения (3.21) и вычесть ве­роятность, не превышающую -1 стандартную единицу (см. рисунок 3-12). Это даст нам:

0,9772499478 - 0,1586552595 = 0,8185946883

Рисунок 3-12 Площадь между -1 и +2 стандартными единицами

Другой способ: из единицы, представляющей всю площадь под кривой, надо вы­честь вероятность, не превышающую -1 стандартную единицу, и вероятность, превышающую 2 стандартные единицы:

= 1 - (0,022750052 + 0,1586552595) = 1 -0,1814053117 =0,8185946883

С помощью рассмотренных в этой главе математических подходов вы сможете рассчитывать любые вероятности событий для случайных процессов, имею­щих нормальное распределение.







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 405. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия