Студопедия — Разложение функции алгебры логики по переменным. СДНФ, СКНФ. Полином Жегалкина.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Разложение функции алгебры логики по переменным. СДНФ, СКНФ. Полином Жегалкина.

Разложение функции алгебры логики по переменным. СДНФ, СКНФ. Полином Жегалкина.

 

Логической степенью переменной х называется выражение

Другими словами, логическая степень – выражение, которое обозначает переменную или ее отрицание.

Табл.2.11
x s x s
     
     
     
     
Из определения логической степени следует, что . Данное утверждение можно пояснить табл.2.11.

На основании этого можно определить следующее общее свойство логической степени: xs= 1 тогда и только тогда, когда x=s (соответственно xs=x≠s).

Рассмотрим набор переменных {x1,..,xn}.

Конъюнкцией (дизъюнкцией) над множеством переменных {x1,..,xn} называетсялюбое выражение вида , в котором Î{x1,..,xn}, j= .

Рангом конъюнкции (дизъюнкции) над множеством переменных {x1,..,xn} называетсяколичество попарно различных переменных в конъюнкции (дизъюнкции).

Пример. Рассмотрим набор переменных {x1,x2,x3,x4}.

Тогда () – конъюнкция (дизъюнкция) ранга 3.

Конъюнкция (дизъюнкция) над множеством переменных {x1,..,xn} называется элементарной, если все переменные в ней попарно различны.

Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) над множеством переменных {x1,..,xn}, называют совершенной, если она имеет ранг n.

Иными словами, совершенная конъюнкция (дизъюнкция) – это такая, в которой присутствуют все переменные из рассматриваемой совокупности, причем по 1 разу.

Пример.

– элементарная конъюнкция над множеством переменных {x1,x2,x3,x4}, но не совершенная; – совершенная конъюнкция над множеством переменных {x1,x2,x3,x4}.

Конъюнкцию (дизъюнкцию) над множеством переменных {x1,..,xm} можно обозначать K(D) или Ki(Di).

Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой называется формула вида K1 Ú K2 Ú Ú Kl или (D1 &D 2 & &D l или ).

Пример.

–дизъюнктивная нормальная форма. – конъюнктивная нормальная форма.

Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется совершенной дизъюнктивной(конъюнктивной) нормальной формой или СДНФ(СКНФ),если каждая конъюнкция (дизъюнкция) в ней является совершенной.

Пример. Для набора переменных {x1,x2,x3} – совершенная дизъюнктивная нормальная форма, – совершенная конъюнктивная нормальная форма.

Теорема (о разложении функции алгебры логики по m переменным).

Каждую функцию алгебры логики f(x1,..,xn) для любого mn следующее можно представить в следующей форме:

(2.1)
Это представление называется разложением функции по m переменным x1,..,xn.

Доказательство. Подставим вместо переменных x1,..,xn любые конкретные значения a1,..,an ÎE2. Тогда в левой части равенства (2.1) получим f(a1,..,an), в правой . Выражение равно нулю, если существует i (1im), при котором ai≠si (по свойству логической степени и свойству конъюнкции x 0=0).

Тогда рассматриваемое выражение можно преобразовать к виду

, так как

,а по свойству дизъюнкции . Мы видим,таким образом, что левая и правая части выражения (2.1) совпадают при подстановке вместо переменных любых значений.

Тем самым равенство доказано.

Следствие (разложение функции алгебры логики по всем переменным).

Для любой функции алгебры логики, не тождественно равной 0, справедливо разложение:

. (2.2)
Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции f(x1,..,xn).

Доказательство. В равенстве (2.1) положим m=n, получим:

.

Теорема позволяет функции с большим числом переменных выразить с помощью формул над функциями с меньшим числом переменных.

 

Пример.

Табл.2.12
x y f(x1,x2)
     
     
     
     
Рассмотрим функцию эквиваленции (табл.2.12). Найдем ее разложение по переменной x1 и по всем переменным.

Согласно (2.1), получим

– разложение по переменной x1.

По табл.2.12 функции f(x1,x2) определяем, что f принимает значение 1 на двух наборах (s1,s2) значений переменных – на наборах (0,0) и (1,1). Отсюда, согласно (2.2),

– СДНФ для .

Теорема. Для любой функции алгебры логики, не тождественно равной 1, справедливо следующее разложение:

. (2.3)
Это разложение назовем совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) функции f(x1,..,xn).

Доказательство. Докажем теорему, используя принцип двойственности.




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Методы получения полиномов Жегалкина. | 

Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 4686. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия