Вектора и действия над ними
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Вектора и действия над ними Есть величины, определяемые только их числовым значением, без указания направления (например, объем, масса, плотность и др.), — они называются скалярами. Другие величины — векторы — определяются и величиной и направлением из начала координат в какую-либо точку пространства. При повороте системы координат квадрат вектора не изменяется, а его проекции на оси координат изменяются по установленному закону. Есть величины, изменяющиеся более сложно, например как произведение двух векторов. Они называются тензорными. Кроме векторных и тензорных величин существуют другие, которые изменяются заданным образом при поворотах. Их называют спинорами. Из спиноров можно образовать квадратичную комбинацию, изменяющуюся, как вектор, или скалярную, не изменяющуюся при поворотах. Величины характеризующиеся числом и направлением называются векторными (или векторами) в отличии от чисел называемых скалярными величинами. Перемещение, скорость, импульс, сила и др. - примеры векторных величин. Остановимся на свободных векторах, инвариантных при параллельном перемещении, в физике встречаются скользящие (вдоль линии приложения) и закрепленные (в точке приложения) вектора. Вектор - направленный отрезок прямой, или упорядоченная пара точек; одна точка - начало, другая - конец вектора. АВ и ВА - противоположные векторы. Модуль - длина вектора a =АВ обозначается |a| или |АВ|. При совпадении начала и конца вектора имеем нулевой, с нулевым модулем и неопределенным направлением. Вектора равны, если совпадают модули и направления, вектора лежат на одной прямой или параллельных прямых и направлены в одну сторону, т.е. если один получается из другого параллельным переносом. Так же как бессмысленно сравнивать величины разной размерности, скажем время и длину, массу и скорость, невозможно и равенство, в котором слева — скаляр, а справа — вектор. Нулевой вектор 0 имеет модуль равный нулю и направление его не определено, поэтому нулевой вектор перпендикулярен и параллелен любому вектору. Будем рассматривать свободные вектора -инвариантные при параллельном переносе, хотя в физике встречаются еще закрепленные и скользящие вектора ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой a+b векторов a и b называют вектор, проведенный из начала a к концу b, если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами: 1. a+b=b+a (коммутативность) где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. Произведением la вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами: 1. l×(a+b)= l×a+l×b (дистрибутивность относительно сложения векторов) Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, …, с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: aa+bb+…+gc=0. (1) Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b,...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b,..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
|
