Определение 2.21. Векторным произведением вектора
на вектор
называется вектор
(рис. 2.15), у которого: 1) длина численно равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
2) вектор
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы
и
, т.е.
и
;
3) вектор
направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от вектора
к вектору
осуществлялся против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора
.
Векторное произведение векторов
и
обозначается символом
или
.
Из определения вытекает, что
. Свойства:
1)
- антикоммутативность;
2)
- ассоциативность относительно скалярного множителя;
3)
- дистрибутивность относительно сложения;
4)
означает коллинеарность векторов
и
.
Для векторного произведения основных ортов
справедлива такая таблица (табл.2.1).
Таблица 2.1
С использованием этой таблицы можно доказать, что если векторы
и
заданные своими координатами в прямоугольной системе координат
т.е.
;
,
то
.
Если
и
коллинеарны, то
и из (2.31) получим, что
, - условие коллинеарности векторов.
Векторное произведение может использоваться для вычисления площади параллелограмма, а значит, треугольника и любого плоского многоугольника, а также для вычисления момента силы. В случае, когда тело неподвижно закреплено в т.
, а в т.
этого тела приложена сила
, тогда момент силы
, а величина момента равна
.
Пример Сила
приложена к точке
. Определить момент этой силы относительно начала координат.