Скалярное произведение двух векторов и его свойстваОпределение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначают , или . Итак, по определению , где - угол между векторами та . Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю. Поскольку по формуле то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом: или . Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого. Скалярное произведение имеет следующие свойства: 1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов . (2.14) 2. , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату модуля этого вектора. Отсюда . (2.15) 3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю. 4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть . (2.16) 5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов имеет место равенство . 6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям: , . Рассмотрим теперь два вектора и , которые заданы координатами в прямоугольной системе координат: ; , Т.е. , . Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим, , скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно сумме произведений их соответствующих координат. , модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат. Косинус угла между двумя векторами . Для ортонормального базиса получим: и условие ортогональности двух векторов приобретает вид: . Если , , при , при .
|