Скалярное произведение двух векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначают , или .

Итак, по определению

,

где - угол между векторами та .

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю.

Поскольку по формуле

то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:

или

.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов . (2.14)

2. , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату модуля этого вектора. Отсюда . (2.15)

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть . (2.16)

5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов имеет место равенство

.

6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям:

,

.

Рассмотрим теперь два вектора и , которые заданы координатами в прямоугольной системе координат: ; ,

Т.е. , .

Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим,

, скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно сумме произведений их соответствующих координат.

, модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между двумя векторами .

Для ортонормального базиса получим:

и условие ортогональности двух векторов приобретает вид: .

Если , ,

при ,

при .