Скалярные и векторные величины

Других божеств не призывает».

Скалярные и векторные величины

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами.

Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.

Определение Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками: первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Если начало вектора совпадает с точкой , а конец с точкой , то вектор обозначается . Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней . В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.

К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается или просто .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева: , или без стрелочек или .

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

Определение Два вектора и называются равными (рис. 2.2), если они: 1) коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по длине.

Это записывают так: (2.1)

Из определения равенства векторов вытекает, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный начальному, потому начало вектора можно разместить в любую точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, геометрии), начало которых можно размещать в любой точке пространства, называют свободными. И именно такие векторы мы будем рассматривать.

Определение Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие постоянные , среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых выполняется равенство .

Определение Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности.

Определение Если - базис и вектор , то числа называются координатами вектора в данном базисе.

Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например, означает, что вектор в некотором выбранном базисе имеет разложение: .

Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.

Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.