Решение. , так как соединяет точку с началом координат

По формуле (2.33) .

, так как соединяет точку с началом координат. По условию .

По формуле

Т.о., .

Смешанное произведение трех векторов

Определение Смешанным произведением трех векторов и называется число, полученное, если перемножить векторы и векторно, а потом полученный вектор умножить скалярно на вектор . Поэтому это произведение еще называется векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение записывается таким образом: , т.е. .

С геометрической точки зрения смешанное произведение некомпланарных векторов и по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .

Если векторы и заданы координатами в прямоугольной системе координат

то можно показать, что .

Если , то это означает, что параллелепипед на этих векторах построить нельзя, то есть векторы и лежат в одной плоскости, ведь

выражает условие компланарности векторов и .

Смешанное произведение имеет такие свойства:

1) - операции скалярного и векторного произведений можно менять местами, поэтому смешанное произведение записывают еще в виде ;

2) круговая перестановка множителей не изменяет величины смешанного произведения ;

3) перестановка двух соседних множителей изменяет знак произведения на противоположный .

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами и