Полярная система координат

Другой практически важной системой координат является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором ē того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки)

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут М(r;φ), при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (—π; π) (или 0≤φ≤ 2π), а полярный радиус — [0; ∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. для этого совместим полюс О с началом координат системы. Оху, а полярную ось с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - прямоугольные координаты точки М, а r и φ и ее полярные координаты.

Из рисунка видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину φ, следует установить (по знакам Х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что —π≤φ≤ π.