ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, о кружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности). Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии). Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(х; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии. Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения. Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хо; уо) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат. Пример 10.1. Лежат ли точки К(—2;1) и Е(1;1) на линии 2х + у +3 = О? Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2. (—2) + 1 +3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка Е не лежит на данной линии, т. к. 2·1+1+3≠0 Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F1(х;у) = 0 и F2(х;у)=0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
F2(х;у)=0, Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются. Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат. Уравнение F(r,φ) = 0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению. Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
где х и у — координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, t — переменная, называемая параметром; параметр определяет положение точки (х; у) на плоскости. Например, если х = + 1, у = t2, то значению параметра t2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т.к. х = 2 + 1 = 3, у = 22 = 4. Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнениями линии. Линию на плоскости можно задать векторным уравнением
Векторому уравнению линии Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(х;у) = 0. Всякому уравнению вида F(х;у) = 0соответствует некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (могут быть и исключения).
|
F1(х;у) = 0
, где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t0 соответствует определенный вектор 
плоскости. При изменении параметра t конец вектора 
