Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х_О; у_о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М₀М (х — х₀; у - у_о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М_оМ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х — хо) + В(у — уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0, (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = —Ах_о - Ву_о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где - координаты точки, через которую проходит прямая, а - направляющий вектор.

 

Кривые второго порядка

Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке :

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и , которые называются фокусами, есть величина постоянная , большая чем расстояние между фокусами .

x

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b – длина малой полуоси (рис. 2).

Зависимость между параметрами эллипса и выражается соотношением:

(4)

Эксцентриситетом эллипса называется отношение межфокусного расстояния 2с к большой оси 2а:

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные оси Оу, которые находятся от этой оси на расстоянии . Уравнения директрис: .

Если в уравнении эллипса , тогда фокусы эллипса находятся на оси Оу.

Итак,