Решение. 1. Алгебраическая формакомплексного числа имеет вид

, (1)

2. Тригонометрическая – , (2)

3. Показательная – . (3)

Чтобы перейти от алгебраической к тригонометрической и показательной форме, нужно определить модуль и аргумент комплексного числа по формулам:

, (4)

(5)

где - действительная часть комплексного числа, - мнимая часть комплексного числа.

Перейдем от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной форме.

Сначала запишем , . По формуле (4) определим модуль комплексного числа :

.

Изобразим комплексное число на комплексной плоскости (рис. 2).

Рис. 2.

Из рисунка видно, что аргумент . Найдем значение аргумента по формуле(5). Поскольку , то .

По формулам (2) и (3) соответственно запишем в тригонометрической и в показательной форме ,

.

Аналогично представим число в тригонометрической и в показательной форме (рис. 3) , .

.

Рис. 3

,

.

.

2. Выполним действия:

1) в тригонометрической форме.

Чтобы умножить два комплексных числа в тригонометрической форме, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

.

2) в показательной форме.

Чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно поделить их модули, а аргументы отнять.

.

3) в тригонометрической форме.

Чтобы возвести комплексное число в -ю степень, используется формулу Муавра .

.

В примере учтено то, что ; .

4) в показательной форме.

Чтобы извлечь корень - й степени из комплексного числа, используется формула , где .

.

, .

Если , то ;

; то .

то .

Пример 2. Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных чисел:

Решение

.

Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части:

Используя условие равенства двух комплексных чисел, составим систему:

Ответ:

Пример 3. Найти модуль и главные значения аргумента комплексных чисел:

Решение

а) , так как вектор, изображающий комплексное число, лежит на положительной полуоси Оу;

б) так как вектор, изображающий комплексное число, лежит на отрицательной полуоси Оу;

в)

г)

д)

или

е)

є)

.

Пример 4. Вычислить:

а)	в)
б)	г)