Основные теоретические положения по теме занятия

Наиболее полная и достоверная информация о надежности изделий может быть получена в результате проведения испытаний. Это объясняется возможностью воспроизведения в процессе испытаний реальных условий функционирования отдельных изделий и сложных систем, а также исследования воздействия различных рабочих режимов и последствий всевозможных неблагоприятных факторов.

Основными видами испытаний на надежность являются определительные испытания, предназначенные для статистической оценки числовых показателей надеж­ности.

Проведение определительных испытаний сопровож­дается значительными затратами времени и материальных средств. Действительно, поскольку оценки ПН связаны с вероятностными процессам повышение их достоверности требует достаточно большого количества испытываемых изделий. Продолжительность определительных испытаний обусловлена необходимостью выяснения сохраняемости свойств изделий на протяжении длительного интервала времени. Вышесказанное требует четкой организации и обоснованной методики проведения определительных испытаний.

План проведения испытаний должен содержать следующие указания, шифруемые буквами на трех пози­циях:

- начальный объем испытываемой выборки изделий обозначается буквой на первой позиции;

- восстановление отказавших при испытаниях образ­цов или его отсутствие обозначается следующим образом: U - отказавшие изделия не восстанавливают и не заменяют новыми, - отказавшие изделия заменяют новыми и испытания продолжаются; - отказавшие изделия ремон­тируют и затем возвращают на испытания;

- признак окончания испытаний обозначается на третьей позиции следующим образом: N - испытания завершаются после отказа всех N поставленных на испытание изделий; - испытания оканчиваются после отказов r изделий, ; Т - испытания завершаются по истечении заданного времени Т; - испытания завершаются после полу­чения отказов или через время Т в зависимости от того, какое из этих условий произойдет раньше.

Примерами шифров возможных планов могут быть , , и т.д. В плане испы­тываются N изделий без восстановлении и замен до отказа всей выборки. В плане при отказе любого из ^ N испытываемых изделий происходит его замена на новое изделие и испытания продолжаются в течение заданного интервала времени Т. В плане после ремонта отказавших изделийих возвращают на испытания, которые завершаются через время Т или после наступления r отказов.

Выбор плана непосредственно определяет органи­зацию испытаний, их продолжительность, влияет на стои­мость испытаний, а также на точность и достоверность получаемых результатов. Например, замена плана на позволит повысить точность испытаний при том же объеме выборки, а проведение плана вместо сократит длительность испытаний. Кроме того, при реализации плана для получения той же точности оценок ПН можно уменьшить объем выборки, но при этом возрастет время испытаний. Следует отметить, что восстановление связано с дополнительными матери­альными затратами.

Увеличение объема выборки при плане по­высит точность результатов испытаний, а при плане - сократит время испытаний. Реализация плана вместоплана при равной продолжительности испытаний снизит точность результатов. Из вышеизло­женного следует, что сократить длительность испытаний можно путем увеличения объема выборки, проведения восстановления отказавших изделий, а такжеснижением требований к точности результатов испытаний. Последнее при заданной достоверности определит необходимое количество испытываемых изделий.

Понятно, что выбор плана испытаний в каждом конкретном случае должен осуществляться в результате разумного компромисса между указанными факторами, носящими противоречивый характер, и возможностями их удовлетворения (ограничения на длительность испытаний, объем выборки, проведение восстановительных работ и пр.).

Показатели надежности определяются в процессе статистической обработки результатов испытаний, пред­ставляющих собой зарегистрированный ряд времен безотказной работы и (или) восстановления. Понятно, что испытаниям подвергается не вся генеральная совокупность (все количество выпускаемых изделий), а лишь некоторая выборка объемом N.

По результатам испытаний выборки судят о надеж­ности всей генеральной совокупности. Естественные ограничения числа испытываемых изделий и продол­жительности испытаний приводят к ограниченному объему статистического материала и, следовательно, необ­ходимости учета особенностей его обработки.

Статистическая обработка результатов опреде­лительных испытаний на надежность должна выполняться в следующей последовательности:

представление экспериментальных данных в виде вариационного ряда времен безотказной работы или восстановления испытуемых изделий;

построение гистограммы одной из количественных характеристик надежности;

проверка допустимости предполагаемого закона распределения с использованием критерия согласия;

интервальная или точечная оценка параметров принятого закона распределения.

Исчерпывающей характеристикой надежности изделийявляетсязакон распределения времени безот­казной работы. Однако, располагая ограниченным статистическим материалом, нельзя сделатьдостаточно достоверный вывод о виде закона распределения. В подобных ситуациях целесообразно воспользоваться рекомендациями теории проверки статистических гипотез [10, с. I49-158].

Применительно к задаче определения закона распределения времени до отказа по результатам опреде­лительных испытаний сутьэтих рекомендаций сводится к следующему. По данным полученного ряда времен безот­казной работы изделий построим гистограмму одной из количественных характеристик надежности - вероятности безотказной работы , интенсивности отказов иличастоты отказов . При этом используют формулы для статистической оценки указанных показателей:

; ;

где — объем испытываемойвыборки;

— число изделий, отказавшихза время t;

— число изделий, отказавшихна интервале , расположенном от до ;

— среднее числоизделий, исправно работающих соответственно вначале и конце интервала ,

;

и число изделий,исправно работающих соответственно в начале и конце интервала .

Полученную гистограмму аппроксимируем кривой, которую назовем экспериментальной. По ее виду выдвигаем гипотезу о справедливости того или иного закона распределения случайной величины. Наиболее распространенными в теории и практике надежности являются законы экспоненциальный, нормальный, Вейбулла, гамма распределения. Строим теоретическую функцию распределения выбранного показателя надежности, соответствующего проверяемой гипотезе.

Для того чтобы принятьили отвергнуть выдвинутую гипотезу,рассмотрим некоторуювеличину , характеризующую меру рассогласования экспери­ментальной и теоретической кривых. Оценку величины рассогласования определяют с помощью так называемых критериев согласия — Пирсона, Фишера, А.Н. Колмогорова. Сведения по проверке правдоподобия гипотез приведены в [l0, с.149-158].

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия - Пирсона. Последовательность действий по оценке степени расхождения между фун­кциями теоретического и экспериментального распре­делений следующая:

1. Определяем меры расхождения U по формуле:

, (6.1)

где k - число разрядов гистограммы, на которое разбивается весь диапазон значений времен безотказной работы или восстановления, полученных в процессе испытаний;

число значений времени, попавших i -й разряд ;

. - теоретическая вероятность попадания случайного значения времени в i –й разряд. Формула для вычислений , выбирается в зависимости от вида прове­ряемого закона распределения t. При нормальном законе с параметрами ,

(6.2)

Для определения можно воспользоваться таблицами, приведенными в [10, с.561-864].

2. Определяем число степеней свободы r как число разрядов k минус число наложенных связей s:

обычно или 2.

3. С помощью специальных таблиц (см. например, [10, с.567]) находим вероятность того, что расчетное значение случайной величины c степенями свободы превысит данное табличное значение . Если эта вероятность менее 0,3, проверяемая гипотеза отбрасы­ваетсякак неправдоподобная. В противном случае ее можно принять как не противоречащую эксперименталь­ным данным.

Заметим, что при применении критерия Пирсона достаточно большим должен быть, не только объем выбор­ки, но и число попаданий случайной величины в отдельные разряды (не менее 5-10 значений).

Если указанное условие не выполняется, для оценки правдоподобности выдвинутой гипотезы используется критерий А.Н. Колмогорова. Последний по сравнению с критерием более прост, но менее достоверен. Приме­нение критерия А.Н. Колмогорова сводится к следующим действиям:

1. Определяем максимум модуля рассогласования между экспериментальной и теоретической функциями.

2. Вычисляем величину , где - объем выборки данных.

З. По специальной таблице [10, с.157] определяем вероятность того, что за счет случайных причин величина будет не менее, чем зафиксированная в испытаниях. Если весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную. При сравнительно больших значениях ее можно считать совместимой с экспериментальными данными,

Применительно к рассматриваемой задаче считаем, что проверяемая гипотеза о законе распределения времени до отказа подтверждается, если . При этом . Если гипотеза отвергнута, выдвигаем следующую и соответственно указанному порядку проверяем ее согласованность с данными, полученными в результате проведения испытаний. Эта процедура повторяется до установления вида закона распределения оцениваемой характеристики надежности. После этого приступаем к определению его параметров.

Следует помнить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного экспери­ментального материала, всегда содержит элемент случай­ности. Это приближенное, в некоторой степени случайное значение называется оценкой параметра. С задачей оцени­вания параметров закона распределения случайного време­ни приходится сталкиваться при статистической обработке результатов определительных испытаний, особенно при ограниченном объеме выборочных данных.

Различают "точечные" и интервальные оценки. При достаточном по объему статистическом материале (поряд­ка нескольких сотен значений) оценкой для мате­матического ожидания параметра, например наработки на отказ, является среднее арифметическое наблюдаемых значений , .

. (6.3)

При сходится по вероятности к математическому, ожиданию времени безотказной работы. Подобная оценка называется ''точечной".

Если объем статистических данных невелик (порядка нескольких десятков значений), замена, математического ожидания средним арифметическим приводит к сущес­твенной ошибке в оценке параметров, тем большей, чем меньше объем выборки. В подобных ситуациях следует воспользоваться интервальными оценками. При интерваль­ных оценках определяется, какой интервал с заданной доверительной вероятностью накрывает математическое ожидание оцениваемого параметра, т.е.

,

где — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы наработки на отказ;

— доверительная вероятность попадания в интервал при его двусторонней оценке.

Вероятность того, что математическое ожидание оцениваемого параметра выйдет за границы доверительного интервала называется уровнем значимости . Очевидно, что

.

Обычно доверительные вероятности принимают равными 0,9; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,1; 0,05; 0,01.

При оценки параметров законов распределения до­вольно часто достаточно установить только нижнюю или только верхнюю границы доверительного интервала, то есть имеет место односторонняя оценка. Доверительная вероятность в этом случае определяет меру доверия к невыходу оцениваемого параметра за соответствующую границу интервала.

, .

Причем .

Отметим, что доверительная вероятность харак­теризует степень достоверности интервальной оценки. Ширина доверительного интервала определяет точность оценки параметров.

Для выбора методики определения числовых значе­ний доверительного интервала необходимо знать вид закона распределения времени, а также величину дове­рительной вероятности.

В случае экспоненциального закона распределения нижняя и верхняя границы интервальной оценки интен­сивности отказов вычисляются по формулам

, . (6.4)

Для вычисления и следует воспользоваться специальными таблицами [1, с.157; 10, с.567].

Входными параметрами являются:

вероятность того, что или будет превышать значение, указанное в таблице; для данная вероятность равна , для ;

число степеней свободы, равное - для и для ; - число зарегистрированных при испытаниях отказов.

Величина является суммарной наработкой всех отказавших в процессе испытаний изделий.

В случае нормального закона распределения с точе­чными оценками параметров и доверительные гра­ницы наработки на отказ равны:

; ; (6.5)

где — квантили распределении Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы .Их величины указаны в [7, с.371-372].

Доверительные границы дисперсии времени безотказной работы вычисляются с помощью формул:

; . (6.6)