Оценки меры изменчивости

31. Выборочная дисперсия – это точечная оценка дисперсии генеральной совокупности.

Для несгруппированной выборки формула для нахождения выборочной дисперсии имеет вид:

.

Здесь n – объем выборки, – выборочные значения.

Для сгруппированной выборки формула для нахождения выборочной дисперсии имеет вид:

.

Здесь n – объем выборки, k – количество групп выборки, – варианты, – соответствующие им частоты.

Для интервального ряда в последней формуле вместо берут середины интервалов: ; – частоты интервалов.

 

32. Выборочное среднеквадратическое отклонение – это точечная оценка среднеквадратического отклонения генеральной совокупности.

.

 

33. Исправленная дисперсия это наилучшая оценка генеральной дисперсии.

.

 

34. Исправленной среднеквадратическое отклонение или стандартное отклонение – это наилучшая оценка среднеквадратического отклонения генеральной совокупности.

.

Исправленная дисперсия и стандартное отклонение являются несмещенными оценками, т. е. оценками, которые не дают систематической ошибки.

 

35. Эмпирическая функция распределения находится по формуле:

.

Здесь n – это объем выборки; – это накопленная частота числа х, т. е. число выборочных данных, строго меньших х.

Эмпирическая функция распределения – ступенчатая. Необходимо разбить ось на интервалы точками , и воспользоваться формулой для каждого интервала в отдельности.

 

36. Метод наименьших квадратов (МНК) – это метод нахождения точечных оценок неизвестных параметров распределения. Часто он используется для нахождения оценок параметров зависимости между случайными величинами X и Y.

Пусть X и Y связаны зависимостью вида . Пусть даны результаты измерений , , …, . Чтобы найти неизвестные параметры зависимости вычисляют рассогласования , возводят их в квадрат, чтобы исключить их взаимное уничтожение из-за разных знаков, затем складывают. Полученную сумму минимизируют, находя, тем самым, оценки неизвестных параметров зависимости.

.

37. Пусть зависимость между X и Y имеет линейный вид, т. е. .

Чтобы найти оценки неизвестных параметров а и b необходимо:

1. С помощью расчетной таблицы рассчитать коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Расчетная таблица

i
…
n

 

2. Подставить полученные коэффициенты в СЛАУ:

;

.

3. Решить СЛАУ любым известным методом.

4. Построить в координатных осях данные точки и полученную прямую и убедится в адекватности модели объекту.

 

38. Уравнение линейной регрессии Y по X имеет вид:

.

Здесь – зависимая переменная (условное среднее значений величины Y, при условии, что Х = х);

х – независимая переменная;

– коэффициент регрессии Y по X;

– среднее по х;

– среднее по у;

– среднее квадратов;

– среднее произведений.

Уравнение линейной регрессии можно записать и через выборочный коэффициент корреляции:

.

Здесь и – выборочные среднеквадратические отклонения величин Х и Y. – выборочный коэффициент корреляции.

Свойства :

1. .

2. Если , то связь между X и Y наиболее тесная – линейная.

3. Если =1, то связь прямая, если = – 1, то связь обратная.

4. Если X и Y независимы, то = 0.

5. Если = 0, то X и Y являются некоррелированными, т.е. между ними нет корреляционной связи.