Решение. 1. Введем следующие обозначения:

 

1. Введем следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А

х₂ – объем выпуска продукции В

S – потребность в трудоресурсах при производственной программе X = (x₁; x₂)

K – сумма кредита

t – почасовая оплата труда

z – выручка от продажи производственных продуктов

К – сумма погасительного платежа

P – прибыль предприятия.

Тогда деятельность предприятия можно формализовать в виде следующих условий:

K = S*t

4х₁ + 1х₂ £ 760

7х₁ + 3х₂ £ 1680

5х₁ + 1х₂ = S

К = (1 + 0,4*3/12)*k = 1,1*k

Целью деятельности предприятия является получение наибольшей прибыли:

P = z – К ® max

Вместе с условием не отрицательности всех введенных переменных данные условия определяют математическую модель заданной ситуации.

2. Проведем анализ условий графическим методом. Выразим прибыль через неизвестные х₁ и х₂.

P(t) = 2135x₁ + 520x₂ – 1,1*(5x₁ + 1x₂)*t = (2135 – 5,5t)*x₁ + x₂*(520 – 1.1t).

Рассмотрим задачу с двумя неизвестными, зависящими от параметра t:

4х₁ + 1х₂ £ 760

7х₁ + 3х₂ £ 1680

х₁ ³ 0 х₂ ³ 0

P(t) = (2135 – 6,6t)*x₁ + x₂*(520 – 1.1t)® max

Построим ОДР, которая не зависит от параметра t.

4х₁ + 1х₂ = 760 7х₁ + 3х₂ = 1680

 

х1				х1
х2				х2

 

Пусть t = 10 руб/чел.час, тогда P(10) = 2080х₁ + 509х₂

grad P(10) = (2080; 509)

Точкой максимума функции будет точка A = (190; 0)

Т.е. оптимальная производственная программа: X* = (190; 0).

Определим для этой производственной программы все остальные неизвестные величины:

Спрос на трудоресурс	S*(10) = 5*190+3*0 = 950 чел.час
Сумма кредита	k*(10) = 950*10 = 9500 руб.
Выручка	z*(10) = 2135*190+520*0 = 405650 руб.
Сумма погашения кредита	K*(10) = 1,1*9500 = 10450 руб.
Прибыль	P*(10) = 405650 – 10450 = 395200 руб.
или	P*(10) = 2080*190+509*0 = 395200 руб.

 

3. Так как grad p(t) = (2135 – 5,5*t; 520 – 1,1*t), то при росте t нормаль к линиям уровня будет поворачиваться влево, т.к. первая компонента вектора становится нулевой раньше при росте t. Точка А остается точкой максимума, пока линии уровня функции p(t) не станут параллельными прямой (1), т.е. пока коэффициенты этих прямых не станут пропорциональными:

(2135 – 5,5t) / 4 = (520 – 1,1t) / 1

t = 50 руб/чел.час.

Итак, если t Î [0; 50], то точкой максимума остается вершина А = (190; 0).

При t = 50 оптимальной будет любая точка отрезка АВ, в том числе и точка В.

Найдем ее координаты из системы:

4х₁ + 1х₂ £ 760 х₁ = 120

7х₁ + 3х₂ £ 1680 х₂ = 280

При дальнейшем росте параметра t единственной точкой максимума будет точка В = (120; 280). Она будет оптимальной пока линии уровня функции p(t) не станут параллельными прямой (2):

(2135 – 5,5t) / 7 = (520 – 1,1t) / 3

t = 314,21 руб/чел.час.

Следовательно, при t Î [50; 60] оптимальное решение определяется точкой В.

Найдем зависимость спроса на трудовые ресурсы от почасовой ставки оплаты труда:

При t Î [0; 50), S*(t) = S_A = 950 чел.час

При t Î (50; 60), S*(t) = S_В = 5*120 + 1*280 = 880 чел.час

При t = 50 спрос на трудоресурс определяется неоднозначно, т.к. его величина зависит от неоднозначной производственной программы.

 

 

Представим функцию спроса на трудовые ресурсы в виде таблицы:

t (руб/чел.час)	[0;50)		(50;60)
S*t (чел.час)		[44000; 47500]

 

График функции S*(t)

Исследуем зависимость размеров максимальной прибыли и кредита от почасовой ставки оплаты труда в диапазоне от 10 до 40 рублей за чел.час.

При t Î [10; 50), k*(t) = k_A = 950*t руб.

P*(t) = z_A – k_A = 405650 – 1,1*950t = 405650 – 1045t руб.

При t Î (50; 60], k*(t) = k_B = 880*t руб.

P*(t) = z_B – k_B = 401800 – 968t руб.

При t = 50 сумма кредита определяется неоднозначно, т.к. ее величина зависит от неоднозначно заданного спроса на трудоресурс. Максимальное значение показателя k – в точке А, минимальное – в точке В.

Величина прибыли:

P*(50) = P_A = 405650 – 1045*50 = 353400 руб.

P*(50) = P_В = 401800 – 968*50 = 353400 руб.

Представим зависимость размеров максимальной прибыли и кредита от почасовой ставки оплаты труда в следующей таблице:

t (руб/чел.час)	[10; 50)		(50; 60]
K*(t) (руб)	950*t	[44000; 47500]	880*t
P*(t) (руб)	405650-1045*t		401800-968*t

 

В следующей таблице представим значения суммы кредита и прибыли предприятия при t = 10, 20, 30,40, 50, 60

t (руб/чел.час)
K*(t) (руб)
P*(t) (руб)

 

График функции k*(t):

График функции p*(t).