Логические законы и правила преобразования логических выражений
Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных. В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы. 1. Закон двойного отрицания: А = Двойное отрицание исключает отрицание. 2. Переместительный (коммутативный) закон: — для логического сложения: А Ú B = B Ú A; — для логического умножения: A & B = B & A. Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. В обычной алгебре a + b = b + a, a ´ b = b ´ a. 3. Сочетательный (ассоциативный) закон: — для логического сложения: (A Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C); — для логического умножения: (A & B)& C = A &(B & C). При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. В обычной алгебре: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c, а ´ (b ´ c) = a ´ (b ´ c) = a ´ b ´ c. 4. Распределительный (дистрибутивный) закон: — для логического сложения: (A Ú B)&C = (A&C) Ú (B&C); — для логического умножения: (A & B) Ú C = (A Ú C)&(B Ú C). Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. В обычной алгебре: (a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c. 5. Закон общей инверсии (законы де Моргана): — для логического сложения
— для логического умножения:
6. Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный): — для логического сложения: A Ú A = A; — для логического умножения: A & A = A. Закон означает отсутствие показателей степени. 7. Законы исключения констант: — для логического сложения: A Ú 1 = 1, A Ú 0 = A; — для логического умножения: A &1 = A, A &0 = 0. 8. Закон противоречия: A & Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными. 9. Закон исключения третьего: A Ú Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано. 10. Закон поглощения: — для логического сложения: A Ú (A & B) = A; — для логического умножения: A &(A Ú B) = A. 11. Закон исключения (склеивания): — для логического сложения: (A & B) Ú ( — для логического умножения: (A Ú B)&( 12. Закон контрапозиции (правило перевертывания): (A Û B) = (B Û A). Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.
|
.
= 
& 
;
= 
