Основы термодинамики

● Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

.

 

● Средняя энергия молекулы

 

,

где - число степеней свободы.

 

● Внутренняя энергия газа

,

где – количества вещества; m – масса газа; μ – молярная масса газа.

 

● Первое начало термодинамики

,

где Q – количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; - изменение её внутренней энергии; А – работа системы против внешних сил.

 

● Первое начало термодинамики для малого изменения системы

.

 

● Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

, .

 

● Уравнение Майера

.

 

● Изменение внутренней энергии идеального газа

.

 

● Работа, совершаемая газом при изменении его объема,

.

 

● Полная работа при изменении объема газа

,

где V₁ и V₂ – соответственно начальный и конечный объемы газа.

 

● Работа газа:

 

при изобарном процессе

, или ;

 

при изотермическом процессе

, или .

 

● Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

 

где - показатель адиабаты.

 

● Работа в случае адиабатического процесса

или ,

 

где T₁ , T₂ и V_1,V₂ – соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

 

● Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

,

где Q₁ – количество теплоты, полученное системой; Q₂ – количество теплоты, отданное системой; А – работа, совершаемая за цикл.

 

● Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

,

где T₁ – температура нагревателя; T₂ – температура холодильника.

 

● Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2, в переменных РV

.

 

В переменных Т, V

 

.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1. В баллоне объёмом 20 л находится аргон под давлением

1,0 МПа и температуре 300 К. После того как из баллона было взято20 г аргона, температура в баллоне понизилась до 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

 

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа, применив его к начальному и конечному состояниям газа:

, (1)

(2)

Из уравнений (1) и (2) выразим m₁ и m₂ и найдём их разность:

,

откуда находим

(3)

Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе слагаемое:

Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона кг/моль.

 

Ответ: Р = 875 кПа

Задача 2. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении р =40 кПа составляет r =0,35 кг/м³.

 

Решение:

Воспользуемся формулой .

 

Из уравнения состояния выражаем плотность газа:

 

,

 

Тогда, подставляя, получим

= 478 м/с.

 

Задача 3. Плотность газа увеличили в k ₁=3 раза, а температуру уменьшили в k ₂=4 раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени?

 

Решение:

Среднее число столкновений молекул в единицу времени находится по формуле

,

где - средняя скорость движения молекул, d – эффективный диаметр молекул, n – концентрация молекул.

 

Формула для вычисления средней скорости:

,

связь концентрации молекул с плотностью газа определяется формулой:

Эффективный диаметр молекул d, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры молекул, зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько увеличивается при понижении температуры). Но при решении данной задачи это изменение величины d учитывать не будем.

 

Подставляем записанные выражения в первую формулу:

,

тогда после изменения давления и температуры

,

т.е. длина свободного пробега при этом увеличится в

 

= = 1,5 раза.

Следует отметить, что в формулы входит именно термодинамическая температура.

 

Задача 4. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при некоторых условиях равны соответственно D = 1,42 см²/сек и η = 8,5·10^-6 Н·сек/м². Найти число молекул водорода в 1 м³ при этих условиях.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулами расчета коэффициента внутреннего трения (динамической вязкости) и коэффициента диффузии:

 

(1)

 

(2)

 

Объединив формулы (1) и (2), получим

 

 

Откуда следует, что плотность водорода равна

 

(3)

 

С другой стороны плотность газа может быть найдена по формуле

 

(4)

 

Объединив формулы (3) и (4), получим выражение для массы водорода

 

(5)

 

Известно, что число молекул можно рассчитать по формуле

 

, (6)

 

где (молярная масса водорода),

 

(число Авогадро).

 

Из формул (5) и (6) находим концентрацию молекул газа

 

 

Подставим численные значения

 

 

Ответ:

 

Задача 5. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет А =2 кДж. Определите коли­чество подведенной к газу теплоты, если процесс проте­кал: 1) изотермически; 2) изобарно;

Решение:

Согласно первому началу термодинамики подведенное к газу количество теплоты Q расходуется им на изменение внутренней энергии и на совершение работы расширения:

Q= D U+A.

1) В случае T= const, = 0, D U = 0 и Q ₁ = A = 2 кДж.

2) При p= constполучаем

,

 

где D T – изменение температуры при изобарном увеличении объема на D V. Из уравнений начального и конечного состояний получаем:

,

т.е.

.

Тогда

= = 7 кДж.

где i =5, т.к. газ двухатомный.

 

Задача 6. Баллон содержит кислорода и аргона. Давление смеси газов , температура . Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

 

Решение:

 

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева-Клапейрона парциальные давления кислорода и аргона выражаются формулами:

 

 

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси двух газов:

или

откуда объем баллона

 

Произведем вычисления, учитывая, что – молярная масса кислорода, – молярная масса аргона

 

.

 

Ответ: .

 

Задача 7. Гелий массой совершает цикл, изображенный на рисунке. Найти работу А, совершаемую газом за один цикл, количество теплоты, принятое от нагревателя и переданное холодильнику за цикл, КПД цикла, если , , , .

Решение:

 

Определим количество вещества

,

где – молярная масса гелия.

 

Рассмотрим каждый участок цикла отдельно.

 

(1-2):запишем первый закон термодинамики . На данном участке давление пропорционально объему: , где .

 

Работа определяется, исходя из изотермического смысла работы газа в координатной плоскости (р, V):

.

,

где - молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа , тогда

,

где для одноатомного гелия число степеней свободы .

Тогда .

Так как , то газ на этом участке получает от нагревателя теплоту.

 

(2-3): Так как , то и первый закон термодинамики принимает вид

,

где ;

.

, значит внутренняя энергия уменьшается.

 

. Так как , то газ на этом участке отдает теплоту холодильнику.

 

(3-1): , (газ совершает «отрицательную» работу; его сжимают).

где - молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Так как , то газ на участке 3-1 также отдает теплоту холодильнику.

Итого: ,

 

.

или .

 

Замечание: используя геометрический смысл работы в координатной плоскости (р, V) видно, что работу за цикл можно рассчитать, определив площадь фигуры цикла (в нашем случае – это площадь треугольника).

 

Ответ: , , , .

 

 

Задача 8. Двигатель работает как машина Карно и за цикл получает от нагревателя теплоты. Температура нагревателя , температура холодильника . Найти:

1. совершаемую за цикл работу;

2. количество теплоты, отдаваемое холодильнику.

 

Решение:

 

Запишем формулу для КПД тепловой машины:

,

 

т.к. двигатель работает по циклу Карно, то .

Совершаемая газом работа за цикл . Тогда , ,

где , .

(Дж)

Количество теплоты (Дж).

 

Ответ: Дж.

 

Задача 9. Один моль идеального двухатомного газа, находящегося в закрытом сосуде, охладили с до . На сколько и как изменилась энтропия газа?

 

Решение:

 

Запишем второй закон термодинамики в формулировке Клаузиуса

,

где dS – приращение энтропии.

По первому закону термодинамики, записанному для элементарного теплового процесса

или .

Элементарное приращение внутренней энергии газа , тогда

.

Для идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме ,

где i – число степеней свободы.

Из уравнения состояния идеального газа следует, что . Тогда

.

После деления на абсолютную температуру Т, имеем

,

.

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, расставляя пределы интегрирования

,

.

Итого, приращение энтропии .

Замечание: Используя полученное выражение для и уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний идеального газа, легко получить

,

где - молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении; .

Рассчитаем изменение энтропии газа, учитывая, что при закрытом сосуде .

, , (для двухатомного газа число степеней свободы )

.

Ответ: энтропия газа уменьшилась на .

 

Задача 10. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа в количестве 3 моль, чтобы его энтропия увеличилась на

25 Дж/К?

Решение:

Для обратимого процесса , где

.

Так как процесс изотермический, то для идеального газа , а элементарная работа равна

.

Изменение энтропии для изотермического процесса будет равно

.

Из последнего соотношения находим

.

Показатель экспоненты – величина безразмерная.

Вычисления: .

Ответ: .