Перенос тепла теплопроводностью.

 

Теплопроводность - это явление переноса энергии, при котором перенос осуществляется путем обмена кинетической энергией между молекулами.

Теплообмен теплопроводностью происходит согласно закону Фурье: плотность теплового потока q прямо пропорциональна градиенту температуры:

q= - l grad t (1.8)

где l - коэффициент теплопроводности определяемый из выражения:

(1.9)

где Q - количество тепла протекающего за время t через поверхность площадью S. Обозначим через P = Q/t тепловой поток, тогда будет справедливо следующее выражение: P= (t₁ - t₂)/F, где F = (x₂ - x₁)/lS.

Значительное число задач теории теплопроводности состоит в определении параметра F. Существует аналогия между переносом тепла через твердое тело и протеканием электрического тока через проводник. При этом аналогом температуры является электрический потенциал, теплового потока - электрический ток, а теплового коэффициента F - электрическое сопротивление. Поэтому параметр F часто называют тепловым сопротивлением.

(1.10)

где dl - элемент длины пути теплового потока; S(l) - площадь изотермической поверхности; l₁ и l₂ - координаты характеризующие положение изотермических поверхностей через которые проходит тепловой поток.

При практических расчетах часто необходимо определить тепловое сопротивление плоской стенки. Пусть стенка состоит из n разнородных слоев, геометрические размеры и коэффициенты теплопроводности которых известны. В установившемся состоянии тепловое сопротивление, которое преодолевает тепловой поток проходя от одной ко второй среде через стенку определяется.

, (1.11)

где d - толщина слоя, S - площадь соприкосновения слоев. В формуле первое слагаемое характеризует взаимодействие первой среды и стенки, второе слагаемое - тепловое сопротивление самой стенки, третье слагаемое - тепловое сопротивление от стенки к второй среде.

При определении полного теплового сопротивления сложносоставных стенок сначала составляют тепловую схему описывающую процесс передачи тепла и взаимодействие источников и стоков тепла. Далее, используя законы Кирхгофа, определяют сумму сопротивлений отдельных частей стенки и находят общее сопротивление.

 

Пример 1.3.

Крепление детали к шасси осуществлено с помощью болта (Рис. 1.). Найти тепловое сопротивление крепежного соединения, если известно, что болт изготовлен из легированной стали (l= 40 Вт/м² град), его диаметр 5 мм; расстояние от основания болта до гайки 10 мм. Материал гайки тот же, что и у болта, диаметр гайки 10 мм, ее высота 4 мм; размеры шайбы: диаметр 12 мм, толщина 1 мм, коэффициент теплопроводности тот же. Изоляционные шайбы выполнены из текстолита (l = 0,23 Вт/м² град), их толщина 1 мм, внешний диаметр 15 мм.

Определить величину пропущенной через соединение тепловой мощности если разность температур детали и окружающей среды составляла 20°С.

Решение:

В этом случае корпус источника тепла электрически изолирован от шасси шайбами из электроизоляционных материалов, которые одновременно являются и теплоизоляцией. Болт отделен от шасси воздушной прослойкой, поэтому теплообмен через прослойку между болтом и шасси практически отсутствует. Тепловой поток поступает на шасси двумя путями: непосредственно через изоляцию 2 и более сложным путем через болт 1, гайку 6, шайбу 5, и слой изоляции 4. В данном случае тепловые потоки движутся параллельно, преодолевая тепловое сопротивление R¢ изоляции 2 и тепловое сопротивление R² несколько последовательно соединенных элементов.

Результирующее тепловое сопротивление R крепежного соединения может быть найдено на основании закона Кирхгофа:

(1.12)

При расчете теплового сопротивления гайки за площадь S₄ принимают площадь поперечного сечения гайки при x=0,25d₆, то есть S₆ = p0,25d₆h₆

А за длину пути теплового потока принимают d₆=0,5h₆+0,25d₆+0,5h₆

Далее приведен расчет с использованием пакета EXCEL.

Теплопроводность, Вт/м2 град
болт	гайка	шайба	изоляция
				0,23	0,23
Размеры, м
болт		гайка		шайба		изоляция
диаметр	0,005	диаметр	0,01	диаметр	0,012	диаметр	0,015	0,015
длина	0,01	высота	0,004	толщина	0,001	толщина	0,001	0,001
Условные размеры гайки
площадь	3,14E-05	высота	0,0065
Тепловые сопротивления
болт	гайка	шайба	изоляция
12,7324	5,172536	0,267487		27,67912	27,67912
Сопротивление ветвей
			45,85154	27,67912
Общее тепловое сопротивление R	17,25988

Тепловая мощность составит P = DT/R = 1.158 Вт.