Усиление излучения.

Для того чтобы изолированный атом изменил свое энергетическое состояние, он должен либо поглотить фотон (получить энергию) и перейти на более высокий энергетический уровень, либо излучить фотон и перейти в более низкое энергетическое состояние. Если атом находится в возбужденном состоянии, то имеется определенная вероятность, что через некоторое время он перейдет в более низкое состояние и излучит фотон. Эта вероятность имеет две составляющие: постоянную и переменную. Если в области, где находится возбужденный атом, отсутствует электромагнитное поле, то процесс перехода атома в нижнее состояние, сопровождаемый излучением фотона и характеризуемый постоянной составляющей вероятности перехода, называется спонтанным излучением. Спонтанное излучение не когерентно, т. к. при этом атомы излучают независимо друг от друга.

Если на атом действует внешнее электрическое поле частоты, равной частоте излучаемого фотона, то процесс спонтанного перехода атома в нижнее энергетическое состояние происходит также как и в отсутствии поля. Однако внешнее электромагнитное поле частоты излучаемого фотона побуждает атомы испускать излучение, повышает вероятность перехода атомов в нижнее энергетическое состояние. Причем излучение атомов в этом случае имеет ту же частоту, направление распространения и поляризацию, что и внешнее электромагнитное поле, т. е. излучение будет когерентным.

Такой процесс излучения называется индуцированным (вынужденным) излучением и характеризуется переменной составляющей вероятности (она будет тем больше, чем больше плотность энергии внешнего электромагнитного поля).

В обоих случаях на стимулирование перехода энергия электромагнитного поля не расходуется, поэтому она увеличивается на величину энергии испущенных фотонов. Однако, одновременно протекают и обратные процессы: атомы поглощают фотоны и переходят в возбужденное состояние, а энергия электромагнитного поля уменьшается.

Обычно существует равновесие между процессами испускания и поглощения, поэтому, в среднем, в окружающей нас природе нет процесса усиления электромагнитного поля.

 

Рассмотрим эти процессы более детально. Допустим, что имеем систему невзаимодействующих атомов. Для простоты полагаем, что атомы могут находиться только в двух состояниях: в нижнем состоянии 1 и в верхнем возбужденном состоянии 2 (рис. 1).

hν12

hν21

hν21

A21

B12

B21

N1

N2

 

Рис. 1. Двухуровневая система.

 

Пусть в момент времени t в единице объема в состояниях 1 и 2 находится N₁ и N₂ атомов соответственно. За время dt из состояния 2 в состояние 1 перейдет dN₂ атомов:

(1)

где А₂₁ – вероятность спонтанного перехода атома из состояния 2 в состояние 1.

Отсюда

(2)

где N₂₀ – число атомов в единице объема в состоянии 2 в момент времени t = 0.

Мощность спонтанного излучения ε₀ (отнесенная к единице объема согласно (2)), равна:

(3)

т. е. мощность спонтанного излучения убывает по экспоненциальному закону.

Согласно (1), среднее время жизни τ атома в возбужденном состоянии 2 равно

(4)

Воспользовавшись (4), приведем выражение (3) для мощности спонтанного излучения к виду:

(5)

из (5) следует, что исследуя затухание спонтанного излучения, можно определить среднее время жизни атома в возбужденном состоянии, т. е. вероятность спонтанного перехода А₂₁.

Теперь допустим, что атомы находятся в поле излучения, плотность энергии которого на частоте ν₂₁ равна ρ_ν . Тогда вследствие взаимодействия атомов с электромагнитным полем возникает индуцированное излучение. Согласно Эйнштейну, вероятность Р₂₁ индуцированного перехода 2→1 в единицу времени пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля ρν на частоте перехода, т. е.

(6)

где В₂₁ – постоянная величина, называемая эйнштейновским коэффициентом индуцированного излучения.

В силу статической независимости процессов, полная вероятность перехода 2→1 (спонтанного и индуцированного) равна сумме вероятностей А₂₁ + В₂₁ρ_ν. Отсюда полное число dz₂₁ переходов 2→1 за промежуток времени с t до t + dt в единице объема равно:

(7)

Вероятность поглощения кванта света атомов определяется аналогичным образом:

(8)

где В₁₂ – постоянная величина, называемая эйнштейновским коэффициентом поглощения.

Отсюда, число dz₁₂ переходов 1→2 равно:

(9)

При равновесии полное число переходов вниз 2→1 равно числу переходов вверх 1→2; согласно (7) и (9). Условием равновесия будет:

(10)

Согласно закону Больцмана, при термодинамическом равновесии распределение частиц по энергетическим уровням Е_j описывается соотношением:

(11)

где N₀ – число частиц в единице объема; g_j – статистический вес уровня (кратность, степень вырождения), который показывает, сколько независимых состояний атома обладают одной и той же энергией E_j.

Статистический вес энергетического уровня атома с заданным значением внутреннего квантового числа j равен

(12)

Из (10) и (11) следует:

(13)

При T→∞ плотность излучения ρ_ν становится весьма большой, поэтому соотношение (13) в этих условиях принимает вид:

(14)

Для невырожденных уровней g₁ = g₂ =1 и (14) преобразуется в

(15)

Учтя (15) и Е₂ – Е₁ = hν₂₁, определим ρ _ν из (13):

(16)

с другой стороны, по закону Планка, при термодинамическом равновесии плотность излучения ρ _ν равна:

(17)

где с – скорость света.

Сравнивая выражения (16) и (17), приходим к выводу:

(18)

Формулы (14), (15), (18) дают соотношения между тремя эйнштейновскими коэффициентами А₂₁, В₂₁, В₁₂. Таким образом для описания всех трех процессов спонтанного и индуцированного излучения и поглощения света, достаточно знать один из коэффициентов А₂₁, В₂₁, В₁₂.

Обычно за атомную константу принимают вероятность спонтанного перехода А₂₁, которую легко можно определить из экспериментов по исследованию затухания спонтанного излучения.

Часто, особенно при рассмотрении взаимодействия направленных потоков излучения с веществом, удобно пользоваться понятием сечения фотопоглощения или индуцированного излучения

Величина: (19)

тождественна (9) по физическому смыслу. Здесь с – скорость света; - число фотонов частоты ν₁₂, прошедших через единицу времени, т. е. плотность потока числа фотонов внешнего электромагнитного поля, величина σ₁₂(ν) совершенно аналогична по физическому смыслу понятию сечения соударения частиц (см. например, задачу «Опыт Франка и Герца»).

Из (9) и (19) следует, что

(20)

Сечения индуцированного излучения σ₁₂ и фотопоглощения σ₂₁, очевидно, удовлетворяют принципу детального равновесия (14) или (15), т. е.

(21)

или

(22)

для невырожденных уровней.

Определим условие усиления излучения. Предположим, что через систему, состоящую из небольшого числа изолированных атомов, распространяется параллельный монохроматический пучок света, причем частота фотонов пучка равна частоте фотона, излучаемого при переходе 2→1. Пусть N₁ и N₂ - заселенности соответствующих состояний, т. е. число атомов в единице объема в состояниях 1 и2 соответственно. Очевидно, что сумма заселенностей всех состояний равна полному числу атомов N₀ в единице объема вещества.

Согласно (1), в отсутствие внешнего электромагнитного поля атомы на время dt излучают энергию W_0изл. равную:

(23)

В присутствии электромагнитного поля, согласно (7) и (9), за тот же промежуток времени будет излучена энергия:

(24)

Таким образом, приращение энергии излучения в единице объема при наличии внешнего электромагнитного поля, согласно (23) и (24), (14), (20), (21), равно:

(25)

или если уровни невырожденные:

(26)

Величина (27)

называется коэффициентом усиления.

Из (25) следует, что если χ > 0, то излучение будет системой атомов усиливаться; если χ < 0, то по мере распространения излучения в среде интенсивность его будет уменьшаться, будет иметь место поглощение излучения.

Таким образом, для того, чтобы излучение усиливалось необходимо, чтобы

(28)

или (29)

в случае невырожденных уровней.

В тех случаях, когда выполняются условия (28) или (29), говорят что среда обладает инверсной заселенностью. Из (28) и (29) следует, что для того, чтобы среда усиливала излучение, необходимо, чтобы число атомов в возбужденном состоянии было больше их числа в нижнем состоянии. Следует отметить, что такие системы часто называют системами с отрицательной температурой, поскольку распределение частиц по данной паре уровней энергии в таких неравновесных системах можно описать функцией (11), справедливой для равновесной системы, если формально считать температуру отрицательной. При этом необходимо иметь в виду, что отрицательная температура не имеет физического смысла, подобно обычному понятию температуры, а является лишь удобной математической величиной, характеризующей неравновесность системы.