Числовые характеристики случайных величин.

Случайные величины помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, различные моменты распределения порядка выше первого и др.)

Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины X формулой

Вероятностный смысл математического ожидания таков: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Если производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна , то математическое ожидание числа появления события равно:

Задача 1. Бросаются две симметричные игральные кости. Х - сумма очков на двух костях. Найти математическое ожидание суммы очков на двух костях.

Решение: Обозначим - количество очков на первой кости - количество очков на второй кости, тогда , причем и - независимые случайные величины.

Вероятность каждого события равна Составим таблицу:

у/z

х

P

 

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием:

Определение. Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число , определяемое формулой

 

Определение. Средним квадратическим отклонением называют т.е. .

Вероятностный смысл дисперсии. Дисперсия характеризует разброс (рассеяние) значений случайной величины.

Если производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна , то дисперсия числа появления события равна:

 

, где .

Для распределения Пуассона характерной особенностью является совпадение математического ожидания и дисперсии, причем

Задача 2. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Функция плотности обладает свойством:

При начальных условиях и , функция примет вид:

Зная можно для непрерывной случайной величины найти и по формулам:

 

По формуле определим функцию распределения случайной величины :

зная которую, найдем вероятность неравенства

Ответ: