Однородные дифференциальные уравненияОпределение. Функция называется однородной функцией измерения относительно аргументов x и y, если равенство справедливо для любого при котором функция определена, Например, функция является однородной четвертого измерения так как Функция является однородной измерения поскольку Если поскольку - однородная функция нулевого измерения, так как где Определение. Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме (1) называется однородным относительно переменных х и у, если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. (2) Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме будет однородным в том и только в том случае, когда -однородные функции одного и того же измерения т.е. Действительно, переписав его в нормальной форме: легко заключаем, что - однородная функция нулевого измерения, поскольку Следовательно, уравнение (1) в явном виде всегда можно записать в виде то положив получим: Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1)=0. ►Так как функции и - однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное. Сделаем замену Тогда Предполагая, что х≠0, сокращаем обе части уравнения на . Далее имеем Разделяя переменные, последовательно находим:
. В последнее выражение вместо и подставим значение у/х. Получим общий интеграл: . Разрешив его относительно у, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения: Использовав начальное условие у(1)=0, определим значение С:
Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид ◄
|