Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Практическое занятие 3 -2 часа

Дифференциальные уравнение первого порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Однородные дифференциальные уравнения

Основные понятия.

Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции. дифференсиального уравнения совпадает(по определению) с порядком наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция у является функцией одного аргумента х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Например, уравнение , где - является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а где - дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде

(1)

или, если разрешить его относительно , в явном виде:

. (2)

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида

(3)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом будет

где С- произвольная постоянная.

Определение. Уравнение вида

(5)

или

(6)

а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям (5) или (6), называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Разделение переменных в уравнениях (5), (6) выполняется следующим образом. Предположим, что N1(y)≠0, M2(x)≠0, и разделим обе части уравнения (5) на . Обе части уравнения (1.3) умножим на dx и разделим на f2(y)≠0. В результате получим уравнения с разделенными переменными (т.е. уравнения вида (1.1)):

которые интегрируются, согласно формуле (4):

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

(7)

►Предположив, что и разделив обе части данного уравнения на получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя его, последовательно находим (произвольную постоянную можно представить в виде ):

Последнее равенство является общим интегралом уравнение (7). При его нахождении были приняты ограничения Однако функции также является решениями исходного уравнения,что легко проверяется; с другой стороны, они получаются из общего интеграла при С=0. Следовательно, частные решения уравнения (1).◄

Пример 2. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию .

►Запишем данное уравнение в дифференциальной форме:

Теперь разделим переменные:

Проинтегрируем последнее уравнение:

,

Получили общее решение исходного уравнения.

Использовав начальное условие, определив значение произвольной постоянной:

Следовательно,частное решение исходного уравнения имеет вид

.◄