Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

II этап. Введение нового материала.





Объяснить доказательство формулы Герона двумя способами: 1) методом алгебраического моделирования с использованием синтетического метода и 2) аналитико-синтетическим методом с использованием тригонометрических знаний.

0 этап. Теорема. Площадь треугольника, стороны которого равны и , вычисляется по формуле , где - полупериметр.

Опорная задача-теорема. Во всяком треугольнике хотя бы два угла острые.

Объяснение доказательства (методом от противного). Предположим, что существует треугольник , в котором два угла тупые: и . Тогда (поскольку и ). Но, по теореме о сумме углов треугольника, . Получаем противоречие: , т.е. . Значит, наше предположение неверно и в каждом треугольнике хотя бы два угла острые, ч.т.д.

Дано: , , , ,

.

Доказать: , где .

Объяснение доказательства.

1-ый способ доказательства:

1) синтетическим методом;

2) методом опорных задач-теорем;

3) методом геометрического конструирования;

4) методом алгебраического моделирования;

5) с использованием «самого сильного метода в математике»;

6) методом разложения на множители по формуле ;

7) методом площадей по формуле .

I этап. Геометрическое конструирование (моделирование). Пусть в исходном углы и - острые. Тогда точка лежит между и (вершинами двух острых углов) (задача № 35, стр. 64, Погорелов). Из точки проведем высоту . Тогда ее основание лежит между точками и и делит отрезок на две части.

II этап. Алгебраическое моделирование на основе двукратного применения теоремы Пифагора.

1) Введем неизвестные величины: и ; очевидно, что .

2) По теореме Пифагора, примененной дважды к двум прямоугольным треугольникам, получим:

а) в ;

б) в .

3) Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными (и тремя параметрами ):

- это алгебраическая модель геометрической ситуации.

4) Работа с математической моделью (по А.Г.Мордковичу). Решим эту систему относительно методом равносильных преобразований:

(деление на допустимо, поскольку по смыслу задачи ).

5) Метод разложений на множители в выражении для .

а) Преобразуем полученное выражение для по формуле (это метод-идея преобразований):

Отметим, что по условию

б) Трижды используя «самый сильный метод в математике», получим:

в) Значит,

и, следовательно,

Отметим, что и , поскольку и .

6) Метод площадей. По основной формуле площади треугольника . Тогда, подставив в эту формулу найденное выражение для , получим:

. Ч.т.д.

 

2-ой способ доказательства аналитико-синтетическим методом с использованием тригонометрических знаний.

I этап. Восходящий анализ. Имеем: , где есть угол, лежащий против стороны . Выразим через стороны треугольника.

II этап. Из теоремы косинусов и основного тригонометрического тождества получим:

1)

2)

Отметим, что по условию .

III этап. Трехкратное применение «самого сильного метода в математике». Тогда (прием: самый сильный метод в математике, по М.А.Красносельскому, - «добавить» и «отнять» одно и то же выражение):

IV этап, заключительный.

1) Имеем:

2) Поскольку и , то и

3) Подставим полученное выражение в известную формулу для площади, получим:

. Ч.т.д.

 







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 438. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия