ПРАКТИЧЕСКИЕ

Прямаянаплоскости

1) Выписать нормальный вектор и угловой коэффициент k прямых, построить прямые

а) 5х-2у+7=0 б) 4х+9у=0 в) 5у+1=0 г) 3х+8=0 д) у=2 е) х=-3

 

2) Составить уравнения прямых, проходящих через данную точку М0 перпендикулярно данному вектору

а) М0(2,-3) (-4,3); б) М0(1,-5) (3,-1); в) М0(0,-2) (1,2); г) М0(0,0) (5,-4)

д) М0(1,4) (0,-3); е) М0(2,-1) (3,0)

 

3) Составить уравнения прямых, проходящих через данную точку М0 параллельно данному вектору

а) М0(1,-5) (2,-7); б) М0(1,0) (3,-1); в) М0(4,-1) (3,0); г) М0(-5,3) (0,-2)

 

4) Составить уравнения прямых, проходящих через две данные точки М1 и М2

а) М1(2,-7) М2(3,4); б) М1(1,-3) М2(5,-1); в) М1(1,8) М2(2,-7)

г) М1(1,3) М2(1,-4); д) М1(3,-2) М2(5,-2); е) М1(2,7) М2(2,-1)

 

5) Составить уравнения прямых, отсекающих на осях координат отрезки

а) а=2, в=-3 б) а=5, в=1 в) а=3, в=-4

 

6) Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой l от координатного угла

а) 3х-2у+6=0 б)-2х+у-4=0 в) х-5у-10=0

 

7) Рассмотреть пары прямых, выявить параллельные, перпендикулярные, найти угол между прямыми

а) х-2у+7=0 (l1) б) 3х-6у+1=0 (l1) в) 2х-8у+5=0 (l1) г) х-8у+1=0 (l1)

2х-4у+1=0 (l2) 6х+3у-7=0 (l2) -х+4у+3=0 (l2) 8х+у-5=0 (l2)

д) 3х-у+5=0 (l1) е) х-5у+1=0 (l1)

2х+у-7=0 (l2) 2х+3у-7=0 (l2)

 

8) При каком значении прямые параллельные?

а) 2х-3у+5=0 l1 б) х - у+8=0 l1 в) х-3у+7=0 l1

х+у-1=0 l2 5х+2у-1=0 l2 2х+ у-1=0 l2

 

9) При каком прямые перпендикулярны?

а) х-3у+1=0 б) 3х- у+1=0 в) х-7у=0

х+5у-6=0 х+5у-2=0 3х+ у-1=0

 

10) Составить уравнение прямой l1, проходящей через данную точку М0 параллельно данной прямой l

а) М0(5,-2) l: 3х-у=0 б) М0(1,0) l: х-2у+1=0 в) М0(1,-3) l: х-5у+2=0

г) М0(0,-3) l: х-6у=0

 

11) Составить уравнение прямой l1, проходящей через точку М0 перпендикулярно прямой l

а) М0(2,-4) l: х+3у-2=0 б) М0(1,0) l: х-у+7=0 в) М0(1,-8) l: 3х+5=0

г) М0(2,0) l: 5у+2=0

 

12) Вычислить расстояние от точки М0 до прямой l

а) М0(2,-7) l:х-2у+3=0 б) М0(2,-3) l:3у+7=0 в) М0(1,-2) l:2х+5=0

 

14) Даны вершины . А(1,1) В(3,3) С(5,2) найти: 1) уравнение и длину стороны АС, 2) уравнение и длину медианы ВМ, 3) уравнение и длину высоты ВК, 4) , 5) уравнение прямой, проходящей через точку В параллельную АС.

16) Вычислить расстояние между параллельными прямыми

а) l1: 3х-4у-10=0 б) l1:х-2у+1=0 в) l1:2х+у-7=0

l2: 6х-8у+5=0 l2:2х-4у+5=0 l2:4х+2у-1=0

 

17) Найти проекцию точки Р на прямую l

а) Р(-6,4) l:4х-5у+3=0 б) Р(1,0) l:х+2у-5=0

 

18) Найти точки пересечения прямых

а) х+5у-1=0 б) 3х-у+1=0 в) 2х+3у-5=0

2х-7у+4=0 х-2у+2=0 3х-5у+3=0

 

Плоскость

1)Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 вектору

а) М0 (2,-1,3) (5,-3,2); б) М0 (0,0,0) (1,-2,3); в) М0 (-1,12,1) (0,2,-3); г) М0 (2,0,-1) (3,0,1)

 

2)Выписать нормальные вектора плоскостей

а) 3x-5y+2z-7=0 б) 5y-x+11=0 в) x-y+2z=0 г) 2y+z=0 д) x=-2 е) y=5 ж) z-3=0

 

1) Составить уравнение плоскости, проходящие через 3 данные точки М1, М2 и М3

а) М1 (1,2,-3) М2 (2,-1,0) М3 (1,5,2)

б) М1 (5,-4,1) М2 (3,0,-2) М3 (1,2,1)

 

2) Составить уравнение плоскости, отсекающей на всех координат отрезки a,b,c. Построить плоскости

а) a=5, b=2, c=-4 б) a=-2, b=2, c=1 в) a=3, b=-2, c=5

 

3) Построить плоскости и вычислить площади треугольников, которые эти плоскости отсекают от координатных углов.

а) x+2y+3z-6=0 б) 2x-5y+z+10=0 в) 3x-5y+z-15=0

 

4) При каких значениях l и m плоскости параллельны? 926(1)

2x+ly+3z-5=0

mx-6y-6z+z=0

 

5) При каком l плоскости перпендикулярны? 927(1)

3x-5y+lz-3=0

x+3y+2z+5=0

 

8) Найти угол между плоскостями. 928

а) x-y +z-1=0, x+y -z+3=0; б) 3y-z=0, 2y+z=0;

в) 6x+3y-2z=0, x+2y+6z-12=0; г) x+2y+2z-3=0, 16x+12y-15z-1=0

 

10) Составить уравнения плоскостей, проходящих через

а) точку М1(2,-3,5) параллельную плоскости oxy,

б) точку М1(1,-5,1) параллельную плоскости oxz,

в) точку М1(0,-1,2) параллельную плоскости oyz.

 

11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М0 параллельную плоскости

а) М0 (5,1,-2) : x-2y+3z-4=0

б) М0 (1,-2,1) : 2x-y+z-5=0

 

11)Вычислить расстояние от точки М0 до плоскости

а) М0(2,3,-5) : x-2y+3z=0

б) М0(1,0,1) : 2x-y+z-5=0

 

Прямая в пространстве

 

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямых

а) проходящей через точку М₀(2,-1,3) параллельно вектору

б) проходящей через точку М₀(2,-3,1) параллельно вектору

в) проходящей через две точки М₁(5,-2,1) и М₂(1,-3,4)

г) д)

 

2. Выписать направляющий вектор прямой

а) б) в) г)

3. Доказать параллельность прямых

а) и

б) и

4. Доказать перпендикулярность прямых

а) и

б) и

5. Найти угол между прямыми

а) и

б) и

 

в) и г) и

 

Прямая и плоскость в пространстве

 

1. Найти точку пересечения прямой и плоскости

а)

б)

2. При каком значении m прямая параллельна плоскости

а)

б)

3. При каких значениях А и В прямая перпендикулярна плоскости

а)

б)

4. Найти угол между прямой и плоскостью

а) и 2x-y+z+3=0

б)

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,5,-4) перпендикулярно прямой

6. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(2,-1,3) на плоскость 3x-2y+z-5=0.

7.Найти проекцию точки А(2,-1,0) на плоскость x-2y+z-2=0

 

Вариант № 1

 

Вектор а длиной 2 ед. составляет с осями Ox и Oy углы α=60⁰, β=120⁰. Вычислите компоненты вектора а.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 2

 

Вычислите площадь треугольника АВС, если А(1;2;0), В(3;0;3), С(5;2;6) и высоту, опущенную из вершины А на сторону ВС.

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 3

 

Разложите вектор s = a + b + с по трем некомпланарным векторам m = a + b -2 c,

n = a - b, p =2 b +3 c.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 4

 

Вершины пирамиды находятся в точках А (4;2;3), В(-5;-4;2), С(5;7;-4), D(6;4;-7), Найдите площадь сечения, проходящего через середину ребра AD и вершины пирамиды В и С.

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 5

 

Векторы а = {4;-5;-4}, b = {5;-1;0} и с = {2;4;-3} заданы в ортонормирован-

ном базисе. Найдите (а, b), | [ a, b ] |, (а, b, с).

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 6

 

Вершины пирамиды находятся в точках А(-9;-7;4), В(-4;3;-1), С(5;-4;2), D(3;4;4). Найдите площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 7

 

Сила F = {2,2,9} приложена к точке А (4,2,-3). Вычислите модуль момента силы F относительно точки В(2,4,0).

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 8

 

Даны три силы P ={7,3,-4}, Q ={3,-2,2} и R ={-5,4,3}, приложенные к точке А(-5,0,4). Вычислите работу, производимую равнодействующих этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В(4,-3,5).

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 9

 

Даны векторы а = {-3,0,4}, b = {5,-2,-14}. Найдите единичный вектор е, который лежит на биссектрисе угла, образованного векторами а и b.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 10

 

Объем тетраэдра ABCD равен 5 ед³, три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В=(3,0,1), С(2,-1,3). Найдите четвертую вершину D, если она лежит на оси Оy.

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 11

 

В трапеции ABCD AD =λ BC. Выразите векторы AС и BD через векторы AD и CD.

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 12

 

Вектор х длиной 51 ед. перпендикулярен оси Oz и вектору а = {8,-15,3} и образует острый угол с осью Оx. Найдите координаты вектора х.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 13

 

Даны 2 точки А (1,2,3), и В (7,2,5). На прямой АВ найдите такую точку М, чтобы точки В и М были расположены по разные стороны от точки А и АМ=2АВ.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 14

 

К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, и 3 и направленные по диагоналям граней куба, выходящих из данной вершины. Найдите величину равнодействующей этих трех сил и углы, образуемые ею с составляющими силами.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 15

 

Даны два вектора а = {8,4,1}, b = {2,-2,1}. Найдите вектор с, компланарный а и b, перпендикулярный вектору а,равный а по длине и образующий с b тупой угол.

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 16

 

Напишите разложение вектора d = {2,-5,-13} по векторам а = {7,2,1},

b = {4,3,5} и с = {3;4;-2}.

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 17

 

Найдите вектор х, зная, что он перпендикулярен векторам а = {3,2,2} и

b = {18,-22,-5} и (х, с) = 2, где с = {0,0,2}.

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 18

 

Даны точки А(1,-2,2), В(1,4,0), С(-4,1,1) и D(-5,-5,3). Докажите, что вектор АС перпендикулярен вектору ВD. Вычислите угол АВС.

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 19

 

Является ли четырехугольник ABCD трапецией, если А(-1;1;2), В(2;-2;2),

С(2;1;-3),D (-1;7;-8)?

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 20

 

Вычислите проекцию вектора а ={3;1;0} на ось вектора b ={2;-1;2} и проекцию вектора b на ось вектора а.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 21

 

Определите число z так, чтобы векторы a = {1;3;-1}, b = {2;-2;z}, c = ={3;1;5} были линейно зависимы.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 22

 

Пусть векторы а и b не коллинеарны и AB = а, ВС = 4(β а – b), CD = -4β b, DA = а +α b. Найдите α и β и докажите коллинеарность ВС и DA.

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 23

 

Даны векторы а = -3 i +2 j +7 k, b = i -5 k, с = 6 i +4 j - k. Вычислите (3 b, с),

|[5 a,-2 c ]|. Коллинеарны или ортогональны векторы а и с?

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 24

 

Докажите, что векторы а = {6;-1}, b = {-3;5} образуют базис и найдите аналитически координаты векторы с = {9;3} в этом базисе. Сделайте чертеж.

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 25

 

Найдите угол между единичными векторами е₁ и е₂, если известно, что векторы а = е₁ +2 е₂ и b = 5 е₁ -4 е₂ взаимно перпендикулярны.

 

 

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 26

 

Дан правильный восьмиугольник А₁ А₂ …А_8. Пусть А₁А₂ = а, А₁А₃ = b. Разложите векторы А₅А₈ и А₃А₆ по векторам а и b.

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 27

 

Найдите большую диагональ параллелограмма, построенного на векторах а ={2,-1,3} и b ={-3,2,-1}.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 28

 

Отрезок AB разделен тремя точками C₁, C₂,C₃ на 4 равные части. Найдите координаты точек C₁, C_2, C_3, если А (3;-1;5), В (-2;5;-5).

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 29

 

Найдите смешанное произведение векторов (a +2 b,4 a - b, b -3 а).

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 30

 

Разложите вектор AB по векторам p ={1;1;-1}, q ={-2;2;2} и r ={3;-3;3}, где

A(-3;1;5), B(2;-4;3)

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

 

Вариант № 31

 

Даны вершины треугольника ABC: A(3,2,1), B(-5,6,2), C(2,-3,4). Найдите длину медианы AD и косинус угла BAD.

 

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 32

 

Найдите орт, перпендикулярный векторам a ={2;-1;3} и b ={4;3;-2}.

 

 

ФГБОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Кафедра математического моделирования

 

Дисциплина «Математика»

Раздел «Векторная алгебра»

 

Вариант № 33

 

Два ребра куба лежат на векторах a =4 i +2 j -3 k, b = i +7 j +6 k. На каком векторе лежит третье ребро куба?

 

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ