Сумма векторов

Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (рис 1.11).

Правило параллелограмма: Сумма двух векторов и , приведенных к общему началу, есть третий вектор, длина которого равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , он направлен от точки общего начала данных векторов.

Правило треугольника: Сумма двух векторов и , если конец первого совпадает с началом второго, есть третий вектор, длина которого равна длине третьей стороны треугольника, построенного на векторах и , причем направлен он от начала первого в конец второго вектора (рис. 1.11).

Пример 1.11. На плоскости заданы векторы (рис. 1.12), изобразите следующие векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

а) Для построения вектора можно воспользоваться как правилом параллелограмма, так и правилом треугольника (рис. 1.13).

б) Разность двух векторов и – это вектор, равный сумме векторов и , где – вектор, противоположный к вектору (рис. 1.14).

в) Для построения вектора необходимо воспользоваться определением умножения вектора на число и каким-либо правилом сложения векторов (рис. 1.15).

г) Сумму нескольких векторов строят так: берут произвольную точку O плоскости и из нее строят вектор , равный первому слагаемому; из точки А проводят вектор , равный второму слагаемому, из точки В – вектор , равный третьему слагаемому и т.д. Наконец, строят последний вектор с концом в точке D, вектор , замыкающий полученную ломаную линию, и будет искомой суммой (рис. 1.16).

Пример 1.12. В пространстве заданы векторы (1, 2, –2) и (–3, 5, 1), найдите следующие векторы: а) ; б) ; в) .

Решение. При сложении (вычитании) векторов соответствующие их координаты складываются (вычитаются). Таким образом, координаты векторов равны: а) (–2, 7, –1); б) (4, –3, –3); в) (1, 17/3, –11/3).

Пример 1.13. Разложите в плоскости вектор (1; 2) по базису.

Решение. В качестве базисных векторов на плоскости рассматривают и – векторы, по модулю равные единице и направленные по координатным осям Ox и Oy. Тогда видим, что (рис. 1. 17). Действительно, ведь координаты вектора – это и есть коэффициенты в разложении вектора по базису.

В трехмерном случае рассматриваются базисные векторы , , . Можно говорить о том, что записи (x, y, z) и равнозначны, в дальнейшем будем пользоваться обеими этими записями.

Пример 1.14. Найдите и , если известно, что векторы и коллинеарны.

Решение. В условии задачи векторы записаны в разложении по базису пространства, в другой записи имеем: (a, 7, 3), (1, b, 2). Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т. е. . Следовательно, a = 3/2, b = 14/3.

Ответ: a = 3/2, b = 14/3.