Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется третий вектор (рис. 1.19), если верны следующие условия:

1. ;

2. ^ и ^ ;

3. , , образуют правую тройку.

Обозначается векторное произведение: ´ .

Векторное произведение векторов не коммутативно, т. е. нельзя переставлять сомножители векторного произведения.

Пример 1.20. Вычислите векторное произведение векторов и .

Решение. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: , где , , – базисные вектора (орты), – координаты вектора , – координаты вектора .

В задаче (–1, 7, 3), (1, 8, –2), значит . Вычислим определитель: = = . Таким образом, = .

Ответ: (–38, 1, –15).

Пример 1.21. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.

Решение. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах. Действительно, , а правая часть этого равенства есть формула площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах (рис. 1.19). Следовательно, искомая площадь S = .

В задаче (1, –1, 2), (2, –3, –1), значит . Вычислим определитель: = = .

Таким образом, = . Найдем модуль полученного векторного произведения: = = . Т. е. площадь параллелограмма равна масштабных единиц в квадрате.

Ответ: S = кв. ед.

Пример 1.22. Зная векторы, образующие треугольник ABC: , , , найти длину высоты этого треугольника, опущенной из точки В.

Решение. Для нахождения длины высоты воспользуемся формулами площади треугольника. С одной стороны площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту S = (рис. 1.20), а с другой – половине площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, т. е. половине модуля векторного произведения S = .

Вычислим = = = .

Найдем модуль полученного векторного произведения: = = = = . Т. е. площадь треугольника ABC равна масштабных единиц в квадрате, S = .

Найдем длину стороны АС, она равна модулю соответствующего вектора: . Тогда (ед.)

Ответ: .