П. 7. Векторное произведение векторов

Градієнт, як завжди вважають, — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Але при замінах координат, градієнт перетворюється інакше, ніж вектор, і тому його не можна розглядати як справжній вектор.

Градієнт, як завжди вважають, — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Але при замінах координат, градієнт перетворюється інакше, ніж вектор, і тому його не можна розглядати як справжній вектор.

де і, j, k - орти системи відліку.

Приклади

· Градієнт скалярного поля

· Градієнт скалярного

· Градієнт тиску

· Градієнт метановості вугільних шахт

Прилади:

· Градієнтометр гравітаційний

· Градієнтометр магнітний

 

Оператор Даламбера (даламберіан) - диференційний оператор другого порядку.

де Δ; оператор Лапласа С — константа. Оператор Даламбера є узагальненням оператора Лапласа на випадок простору Мінковського.

у декатровій системі координат

Дивергенція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним.

Дивергенцією векторного поля в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

 

Ротор — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле.

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша в даній точці саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенційним.

Якщо v (x, y, z) - поле швидкості руху газу (або течії рідини), то rot v - вектор, пропорційний вектору кутової швидкості дуже маленької та легкої порошинки (або кульки), що знаходиться в потоці.

rot v = 2 ω, де ω - кутова швидкість.

 

 

 

П. 7. Векторное произведение векторов

Определение. Тройкой векторов называется три вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке ( - первый, - второй, - третий) и не лежащих в одной плоскости (некомпланарных).

Определение. Тройка векторов называется «правой», если кратчайший поворот от вектора к вектору , когда смотрим с конца вектора , происходит против часовой стрелки. Если же этот поворот кажется происходящим по часовой стрелке, то тройка векторов называется «левой».

Происхождение названия: если векторы совпадают соответственно с большим, указательным и средним пальцами правой руки – тройка правая, если левой руки – тройка левая.

Смысл декартовой тройки всегда должен соответствовать правилу винта: правый винт (раскручиваем вправо, вкручиваем влево)) – тройка правая, левый винт – тройка левая.

 

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) , 2) , 3) образуют правую тройку. (1)

Обозначение или . Это вектор.