Упражнения. 7.1. Запишите по правилам алгоритмического языка выражения: a) e) б)

7.1. Запишите по правилам алгоритмического языка выражения:

a)		e)
б)		ж)
в)		з)
г)		и)
д)		к)

[ Ответ ]

7.2. Запишите в обычной математической форме арифметические выражения:

а) a / b ** 2; б) a+b/c+1; в) 1/a*b/c; г) a**b**c/2; д) (a**b)**c/2; е) a/b/c/d*p*q; ж) x**y**z/a/b; з) 4/3*3.14*r**3; и) b/sqrt(a*a+b); к) d*c/2/R+a**3;

л) 5*arctg(x)-arctg(y)/4; м) lg(u*(1/3)+sqrt(v)+z); н) ln(y*(-sqrt(abs(x)))); о) abs(x**(y/x)-(y/x)**(1/3)); п) sqrt((x1-x2)**2+(y1-y2)**2); р) exp(abs(x-y))*(tg(z)**2+1)**x; c) lg(sqrt(exp(x-y))+x**abs(y)+z); т) sqrt(exp(a*x)*sin(x)**n)/cos(x)**2; у) sqrt(sin(arctg(u))**2+abs(cos(v))); ф) abs(cos(x)+cos(y))**(1+sin(y)**2);

[ Ответ ]

7.3. Вычислите значения арифметических выражений при x=1:
а) abs(x-3)/ln(exp(3))*2/lg(10000);
Решение: abs(1-3)=2; ln(exp(3))=3; lg(10000)=4; 2/3*2/4=0.33;

б) sign(sqrt(sqrt(x+15)))*2**2**2;
в) int(-2.1)*int(-2.9)/int(2.9)+x;
г) -sqrt(x+3)**2**(sign(x+0.5)*3)+tg(0);
д) lg(x)+cos(x**2-1)*sqrt(x+8)-div(2, 5);
е) sign(x-2)*sqrt(int(4.3))/abs(min(2, -1));
ж) div(10, x+2)*mod(10, x+6)/max(10, x)*mod(2, 5).
[ Ответ ]

7.4. Запишите арифметические выражения, значениями которых являются:
а) площадь треугольника со сторонами a, b, c (a, b, c > 0) и полупериметром p;
Ответ: sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

б) среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел a, b, c, d;
в) расстояние от точки с координатами (x, y) до точки (0, 0);
г) синус от x градусов;
д) площадь поверхности куба (длина ребра равна а);
е) радиус описанной сферы куба (длина ребра равна а);
ж) координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями
a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0 (прямые не параллельны).
[ Ответ ]

7.5. Вычислите значения логических выражений:
а) x*x+y*y< =9 при x=1, y=-2
Ответ: да;

б) b*b-4*a*c< 0 при a=2, b=1, c=-2;
в) (a> =1) и (a< =2) при a=1.5;
г) (a< 1) или (a> 1.2) при a=1.5;
д) (mod(a, 7)=1) и (div(a, 7)=1) при a=8;
е) не ((a> b) и (a< 9) или (а*а=4)) при a=5, b=4.
[ Ответ ]

7.6. Запишите логические выражения, истинные только при выполнении указанных условий:
а) x принадлежит отрезку [ a, b ]
Ответ: (x> =a) и (x< =b);

б) x лежит вне отрезка [ a, b ];
в) x принадлежит отрезку [ a, b ] или отрезку [ c, d ];
г) x лежит вне отрезков [ a, b ] и [ c, d ];
д) целое k является нечетным числом;
е) целое k является трехзначным числом, кратным пяти;
ж) элемент a_{i, j} двумерного массива находится на пересечении нечетной строки и четного столбца;
з) прямые a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0 параллельны;
и) из чисел a, b, c меньшим является с, а большим b;
к) среди чисел a, b, c, d есть взаимно противоположные;
л) среди целых чисел a, b, c есть хотя бы два четных;
м) из отрезков с длинами a, b, c можно построить треугольник;
н) треугольники со сторонами a₁, b₁, c₁ и a₂, b₂, c₂ подобны;
о) точка с координатами (x, y) принадлежит внутренней области треугольника с вершинами A (0, 5), B (5, 0) и C (1, 0);
п) точка с координатами (x, y) принадлежит области, внешней по отношению к треугольнику с вершинами A (0, 5), B (1, 0) и C (5, 0);
р) четырехугольник со сторонами a, b, c и d является ромбом.
[ Ответ ]

7.7. Начертите на плоскости (x, y) область, в которой и только в которой истинно указанное выражение. Границу, не принадлежащую этой области, изобразите пунктиром.

а) (x< =0) и (y> =0) Ответ:	е) ((x-2)**2+y*y< =4) и (y> x/2) Ответ:
б) (x> =0) или (y< =0) в) x+y> =0 г) (x+y> 0) и (y< 0) д) abs(x)+abs(y)> =1	ж) (x*x+y*y< 1) и (y> x*x); з) (y> =x) и (y+x> =0) и (y< =1); и) (abs(x)< =1) и (y< 2); к) (x**2+y**2< 4) и (x**2+y**2> 1);

[ Ответ ]

7.8. Запишите логическое выражение, которое принимает значение " истина" тогда и только тогда, когда точка с координатами (x, y) принадлежит заштрихованной области.

[ Ответ ]

7.9. Пусть a =3, b =5, c =7. Какие значения будут иметь эти переменные в результате выполнения последовательности операторов:
а) a: =a+1; b: =a+b; c: =a+b; a: =sqrt(a)
Решение: a =3+1=4, b =4+5=9, c =4+9=13, a = {корень квадратный из} 4 =2.
Ответ: а =2, b =9, c =13;
б) с : =a*b+2; b: =b+1; a: =c-b**2; b: =b*a;
в) b: =b+a; c: =c+b; b: =1/b*c;
г) p: =c; c: =b; b: =a; a: =p; c: =a*b*c*p;
д) c: =a**(b-3); b: =b-3; a: =(c+1)/2*b; c: =(a+b)*a;
е) x: =a; a: =b; b: =c; c: =x; a: =sqrt(a+b+c+x-2);
ж) b: =(a+c)**2; a: =lg(b**2)**2; c: =c*a*b.
[ Ответ ]

7.10. Задайте с помощью операторов присваивания следующие действия:
а ) массив X=(x₁, x₂) преобразовать по правилу: в качестве x₁ взять сумму, а в качестве х₂ — произведение исходных компонент;
Решение: c: =x[1]; x[1]: =x[1]+x[2]; x[2]: =c*x[2]
б) поменять местами значения элементов массива X=(x1, x2);
в) в массиве A(N) компоненту с номером i (1< i< N) заменить полусуммой исходных соседних с нею компонент, соседнюю справа компоненту заменить на нуль, а соседнюю слева компоненту увеличить на 0.5;
г) u = max(x, y, z) + min(x-z, y+z, y, z);
[ Ответ ]

7.11. Задайте с помощью команд если или выбор вычисления по формулам:

a)
б)
в)	где
г)
д)
е)
ж)		если точка лежит внутри круга радиусом r (r> 0) с центром в точке (a, b) в противном случае

[ Ответ ]

7.12. Постройте графики функций y(x), заданных командами если:

а) если x< =-1то y: =1/x**2иначе если x< =2то y: =x*xиначе y: =4все все	в) если x< -0.5то y: =1/abs(x)иначе если x< 1то y: =2иначе y: =1/(x-0.5)все все
Решение	г) если x< 0то y: =1иначе если x< 3.14то y: =cos(x)иначе y: =-1все все
б) если x< -5то y: =-5иначе если x< 0то y: =xиначе если x< 3то y: =2*xиначе y: =6все все все	д) если abs(x)> 2то y: =x*xиначе если x< 0то y: =-2*xиначе если x> =1то y: =4иначе y: =4*x*x все все все

[ Ответ ]

7.13. Определите значение целочисленной переменной S после выполнения операторов:

а) S: =128 нц для i от 1 до 4 S: =div(S, 2) кц	Решение i S       128/2=64   64/2=32   32/2=16   16/2=8 Ответ: S=8	г) S: =0нц для i от 1 до 2нц для j от 2 до 3 S: =S+i+jкц кц	Решение i j S           0+1+2=3     3+1+3=7     7+2+2=11     11+2+3=16 Ответ: S=16
б) S: =1; a: =1 нц для i от 1 до 3 S: =S+i*(i+1)*a a: =a+2 кц	д) нц для i от 1 до 3 S: =0 нц для j от 2 до 3 S: =S+i+j кц кц
в) S: =1; a: =1 нц для i от 1 до 3 S: = S+i нц для j oт 2 до 3 S: = S+j кц кц	е) нц для i от 1 до 2 S: = 0 нц для j oт 2 до 3 нц для k oт 1 до 2 S: = S+i+j+k кц кц кц

[ Ответ ]

7.14. Определите значение переменной S после выполнения операторов:

а) i: =0; S: =0 нц пока i< 3 i: =i+1; S: =S+i*i кц	г) S: =0; N: =125 нц пока N> 0 S: =S+mod(N, 10) | S — сумма цифр N: =div(N, 10) | числа N кц
Решение Условие i < 3 i S       0 < 3? да   0+12=1 1 < 3? да   1+22=5 2 < 3? да   5+32=14 3 < 3? нет(кц)     Ответ: S=14	Решение Условие N > 0 S N       125 > 0? да 0+5=5 12 12 > 0? да 5+2=7 1 1 > 0? да 7+1=8 0 0 > 0? нет (кц)     Ответ: S=8
б) S: =0; i: =1 нц пока i> 1 S: =S+1/i i: =i-1 кц	д) а: =1; b: =1; S: =0; нц пока a< =5 a: =a+b; b: =b+a; S: =S+a+b кц
в) S: =0; i: =1; j: =5 нц пока i< j S: =S+i*j i: =i+1 j: =j-1 кц	е) a: =1; b: =1 нц пока a+b< 10 a: =a+1 b: =b+a кц S: =a+b

[ Ответ ]

7.15. Составьте алгоритмы решения задач линейной структуры (условия этих задач заимствованы из учебного пособия В.М. Заварыкина, В.Г. Житомирского и М.П. Лапчика " Основы информатики и вычислительной техники", 1989):

а) в треугольнике известны три стороны a, b и c; найти (в градусах) углы этого треугольника, используя формулы:

С=180o-(А+В).

Пояснение. Обратите внимание на то, что стандартные тригонометрические функции arccos и arcsin возвращают вычисленное значение в радианной мере.
Решение:

алг Углы треугольника(арг вещ a, b, c, рез вещ UgolA, UgolB, UgolC) нач вещ RadGr, UgolARad | RadGr — коэф. перевода угла из радианной меры в градусную | UgolARad — угол A (в радианах) RadGr: =180/3.14 UgolARad: =ArcCos((b*b+c*c-a*a)/(2*b*c)) UgolA: =UgolARad*RadGr UgolB: =ArcSin(b*sin(UgolARad)/a)*RadGr UgolC: =180-(UgolA+UgolB) кон

б) в треугольнике известны две стороны a, b и угол C (в радианах) между ними; найти сторону c, углы A и B (в радианах) и площадь треугольника, используя формулы:

с² = a² + b² - 2ab cos C.

Пояснение. Сначала нужно найти сторону c, а затем остальные требуемые значения;

в) в треугольнике известны три стороны a, b и c; найти радиус описанной окружности и угол A (в градусах), используя формулы:

где

г) в правильной треугольной пирамиде известны сторона основания a и угол A (в градусах) наклона боковой грани к плоскости основания; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды, используя формулы:

V=Socн· H/2;
где

д) в усеченном конусе известны радиусы оснований R и r и угол A (в радианах) наклона образующей к поверхности большего основания; найти объем и площадь боковой поверхности конуса, используя формулы:

где

e) в правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом A; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды и площадь сечения, проходящего через вершину пирамиды и диагональ основания d; использовать формулы:

[ Ответ ]

7.16. Составьте алгоритм решения задач развлетвляющейся структуры:

а) определить, является ли треугольник с заданными сторонами a, b, c равнобедренным;
Решение:

алг Треугольник(арг вещ a, b, c, рез лог Otvet) дано | a> 0, b> 0, c> 0, a+b> c, a+c> b, b+c> a надо | Otvet = да, если треугольник равнобедренный | Otvet = нет, если треугольник не равноведренный нач если (a=b) или (a=c) или (b=c) то Otvet: = да иначе Otvet: = нет всекон

б) определить количество положительных чисел среди заданных чисел a, b и c;

в) меньшее из двух заданных неравных чисел увеличить вдвое, а большее оставить без изменения;

г) числа a и b — катеты одного прямоугольного треугольника, а c и d — другого; определить, являются ли эти треугольники подобными;

д) даны три точки на плоскости; определить, какая из них ближе к началу координат;

е) определить, принадлежит ли заданная точка (x, y) плоской фигуре, являющейся кольцом с центром в начале координат, с внутренним радиусом r₁ и внешним радиусом r₂;

ж) упорядочить по возрастанию последовательность трех чисел a, b и c.
[ Ответ ]