Моделі дискретних сигналів. Дискретизація періодичних сигналів. Дискретне перетворення Фур'є

(7.6)

Зауваження. У розміщенні множника у виразі (7.5) немає повної єдності. У деяких джерелах цей множник відносять до формули оберненого (оберненого) ДПФ, видаляючи його з формули для прямого ДПФ.

Ортогональний дискретний базис Фур'є, в якому виконується ДПФ, є системою дискретних експоненціальних функцій (ДЕФ), заданою на дискретній часовій осі N відліками,:

(7.7)

Система функцій (7.7) є набором N експонент з частотами, кратними основній частоті , оскільки періодична по з періодом .

Властивості дискретного перетворення Фур'є.

1. Лінійність.

Дискретне перетворення Фур'є - лінійне перетворення, тобто якщо послідовностям і з одним і тим же періодом відповідають набори гармонік і , то послідовності відповідатиме спектр .

2. Симетрія.

Властивість симетрії, якою володіє спектр безперервного сигналу, зберігається і для спектру дискретного періодичного сигналу. Якщо відліки - дійсні числа, тоді коефіцієнти ДПФ, номери яких розташовані симетрично відносно , утворюють спряжені пари:

. (7.8)

З формули (7.8) виходить, що спектр є спряжено симетричним відносно , тобто містить рівно таку ж кількість інформації, що і сам сигнал. Дійсно, якщо початковий сигнал представляється набором з дійсних чисел, то його спектр представляється набором з комплексних чисел, кожне з яких з інформаційної точки зору еквівалентне двом дійсним. Друга половина спектру взаємно-однозначно пов'язана з першою. Можна вважати, що коефіцієнти відповідають від’ємним частотам. При вивченні амплітудного спектру сигналу вони не дають нової інформації.

Гармоніка з нульовим номером (постійна складова), як випливає з (7.5), є середнім значенням усіх відліків сигналу на одному періоді

. (7.9)

Якщо парне число, тоді

(7.10)

І амплітуда гармоніки з номером визначається сумою відліків зі знаками, що чергуються, .

3. ДПФ кругової згортки.

Візьмемо дві послідовності і однакової довжини , ДПФ яких відповідно рівні і . Обчислимо їх кругову згортку по одному періоду

. (7.11)

Знайдемо точкове ДПФ цієї згортки

(7.12)

При виведенні формули (7.12) врахована властивість зсуву періодичної послідовності. Таким чином, круговій згортці дискретизованих сигналів заданих на одному часовому проміжку відповідає перемножування їх спектрів.

Обчислення кругової згортки двох сигналів за допомогою ДПФ здійснюється за наступним алгоритмом:

· обчислення ДПФ вихідних сигналів за формулою (7.5);

· перемножування коефіцієнтів отриманих ДПФ згідно (7.12);

· обчислення сигналу за допомогою оберненого ДПФ отриманої послідовності .

4. Рівність Парсеваля для дискретних сигналів.

Визначимо значення , використовуючи формулу ДПФ

(7.13)

При виведенні формули (7.13) використана умова ортогональності дискретних експоненціальних функцій

. (7.14)

Таким чином, потужність сигналу на відліках дорівнює сумі потужностей його частотних компонентів.

5. Зв'язок ДПФ і спектру дискретного сигналу.

Маючи один і той же набір значень дискретного сигналу , можна розрахувати або спектральну функцію цього дискретного сигналу по формулі , або його ДПФ по формулі (7.5). Порівняння цих формул показує, що ДПФ є просто дискретними відліками спектральної функції дискретного сигналу, які відповідають частотам :

. (7.15)

Із співвідношення (7.15) маємо важливий висновок: якщо додати до кінцевого набору відліків деяку кількість нулів, спектральна функція дискретного сигналу, природно, не зміниться, але ДПФ дасть більше число спектральних відліків, які відповідатимуть частотам більш щільно розташованим в інтервалі від нуля до частоти дискретизації.

6. Обчислення оберненого ДПФ за допомогою прямого ДПФ.

Для обчислення оберненого ФПФ можна без будь-яких змін застосовувати пряме ДПФ. Обернене ДПФ N -точкової послідовності , визначається наступним чином Якщо взяти комплексне спряження від цього виразу та поділити його на N матимемо

. (7.16)

Права частина цього виразу є ДПФ послідовності , яке може бути обчислене з використанням одного з алгоритмів обчислення прямого ДПФ (наприклад, одного з ШПФ). Шукану послідовність можна отримати, взявши комплексно спряжений з (7.16) вираз і помножити його на N, а саме

.

Далі будемо користуватися більш поширеним представленням прямого та оберненого перетворення Фур'є, коли множник 1/N застосовується у співвідношенні для обчислення оберненого перетворення Фур'є.