Z-перетворення

Зручним способом аналізу дискретних послідовностей є Z -перетворення. При Z -перетворенні різницеві рівняння, що описують роботу дискретної системи, перетворюються в рівняння алгебраїчні, з якими простіше виконувати необхідні дії. Z -перетворення відіграє для дискретних сигналів і систем таку ж роль, як перетворення Лапласа - для аналогових сигналів.

Визначення Z -преобразования. Дискретній послідовності відліків ставиться у відповідність функція комплексної змінної z, яка визначається таким чином,

(7.27)

Функція визначена тільки для тих значень z, при яких ряд (7.27) сходиться. Якщо послідовність має обмежену довжину, то сходиться в Z -площині скрізь, за виключенням, можливо, точок z = 0 або z = .

Отримаємо Z -перетворення для деяких дискретних сигналів, що часто зустрічаються на практиці.

Одиничний імпульс, який визначається як

. (7.28)

Використовуючи формулу (7.27), отримаємо:

(7.29)

Функція сходиться в усій комплексній площині.

Одиничний стрибок, який визначається як

. (7.30)

Використовуючи визначення Z -перетворення, отримуємо

(7.31)

Ряд (7.31) є сумою нескінченної геометричної прогресії з першим членом 1 і знаменником . Як відомо, такий ряд сходиться при тобто при і його сума складає

(7.32)

Значення є єдиною особливою точкою (полюсом) функції .

Експоненціальна дискретна функція

. (7.33)

(7.34)

Як і у попередньому випадку, цей ряд є сумою геометричної прогресії з першим членом, рівним 1 і знаменником . Таким чином, ряд сходиться при тобто при , і має особливу точку при :

(7.35)

Комплексна дискретна експонента, яка визначена співідношенням

. (7.36)

(7.37)

причому сходиться при , оскільки єдиною особливою точкою є .

Зв'язок Z –перетворенняз перетворенням Лапласа знайдемо, записавши аналоговий сигнал у вигляді суми дискретних відліків і набору дельта-функцій

(7.38)

де крок дискретизації. Перетворення Лапласа для такого сигналу дорівнює

. (7.39)

Скориставшись фільтрувальною властивістю дельта-функції, отримаємо

(7.40)

Порівнюючи співвідношення (7.27) і (7.40), помічаємо, що одна формула переходить в іншу при заміні . Таким чином, Z -перетворення можна отримати з перетворення Лапласа шляхом переходу до нової змінної:

(7.41)

Сенс використання Z -преобразования при аналізі дискретних сигналів витікає з наступного. Оскільки справедливе співвідношення

, (7.42)

тоді зміна фазової характеристики сигналу означає затримку сигналу на один крок дискретизації і відповідає затримці сигналу на один такт в області.

Перехід від перетворення Лапласа до Z -перетворення при описанні дискретних систем потрібний з наступної причини. Дискретизація аналогового сигналу призводить до періодичності частотного спектру, тобто появи нескінченного ряду зсунутих копій спектру початкового безперервного сигналу. Очевидно, ефект дискретизації призводить до появи в площині нескінченної конфігурації особливих точок (полюсів і нулів).

При переході від площини до площини точка відображується в точку . Тому шлях уздовж уявної осі в площині відображується в одиничне коло в площині, оскільки на уявній осі і, отже Можна показати, що ліва (стійка) смуга площини шириною відображується всередину кола одиничного радіусу площини. Усі наступні смуги площини шириною , відповідні періодичному частотному спектру дискретного сигналу, також відображуються всередину круга одиничного радіусу площини. Тому конфігурація особливих точок (полюсів і нулів) в площині стає кінцевою.

Таким чином, взаємна відповідність між Z -перетворенням та перетворенням Лапласа описується наступним чином:

; .

Подібними формулами описується зв’язок Z -перетворення з перетворенням Фур’є (при цьому немає необхідності вважати послідовність однобічною):

; .

Зв'язок ДПФ з Z -перетворенням.

Порівнюючи формулу прямого ДПФ дискретної послідовності з формулою Z -перетворення, побачимо, що коефіцієнти ДПФ дорівнюють значенням Z -перетворення цього сигналу в точках, рівномірно розподілених по одиничному колу Z-площини. Ці коефіцієнти однозначно представляють саму послідовність, оскільки вона може бути точно відновлена за допомогою оберненого ДПФ.

Отримаємо Z -перетворення послідовності через коефіцієнти ДПФ цієї послідовності

. (7.43)

Формула (7.43) показує, що Z -перетворення кінцевої послідовності , безпосередньо пов'язано з коефіцієнтами , , її ДПФ.

Властивості Z -перетворення

1. Лінійність.

Якщо і є Z -перетвореннями відповідних сигналів і , тоді сигналу відповідатиме Z -перетворення при будь-яких постійних і

2. Затримка (зсув послідовності).

Якщо Z -перетворення сигналу дорівнює , тоді Z -перетворення сигналу , затриманого на тактів, буде рівне .

Доведення.

. (7.44)

Таким чином, при затримці сигналу на тактів необхідно помножити його Z -перетворення на множник .

Зокрема, якщо сигнал отриманий шляхом зсуву сигналу на один такт у бік запізнювання, тоді його Z -перетворення . Отже, символ слугує оператором одиничної затримки (на один інтервал дискретизації) в області.

 

3. Згортка.

Введемо дискретну лінійну згортку , яку визначимо таким чином:

(7.45)

Обчислимо її Z -перетворення:

. (7.46)

Отже, Z -перетворення лінійної згортки двох дискретних сигналів дорівнює добутку їх Z -перетворень.

Системна функція (передавальна функція) дискретного фільтру.

Застосуємо третю властивість Z -перетворення до рівняння дискретної фільтрації: . Оскільки вихідний сигнал дискретної системи є лінійною згорткою вхідного сигналу з імпульсною характеристикою системи, тоді

, (7.47)

де - Z -перетворення відповідно вхідного і вихідного сигналів системи, а – Z -перетворення її імпульсної характеристики

. (7.48)

Враховуючи, що дорівнює відношенню двох перетворених сигналів (вихідного і вхідного), її називають системною або передавальною функцією. Вона грає найважливішу роль в побудові дискретних цифрових систем.

Застосуємо Z -перетворення до обох частин різницевого рівняння

(7.49)

і звідси отримуємо загальний вигляд передавальної функції:

(7.50)

Таким чином, передавальна (системна) функція дискретної системи, що фізично реалізується, може бути представлена у вигляді відношення поліномів по від’ємних степенях змінної z.

 

 

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называется его реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях:

или (1)

где оператор преобразования дискретного фильтра. Импульсную характеристику фильтра обычно представляют совокупностью значений , называемых коэффициентами фильтра.

Заметим, что любую дискретную последовательность можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

(2)

Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

(3)

Выражение (8.3) представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Если фильтр физически реализуем (каузален), то его реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на его входе (принцип временного детерминизма). Следовательно, его импульсная характеристика должна равняться нулю в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса, т.е. при . Поэтому верхний предел суммирования в формуле (3) может быть заменен на :

(4)

 

 

Оскільки системна функція є Z -перетворенням від імпульсної характеристики системи , порівняємо це співвідношення з виразом для частотного коефіцієнта передачі, який також може виражатися через значення імпульсної характеристики відповідно .

Очевидно, щоб отримати частотний коефіцієнт передач (частотну характеристику) дискретної системи з його системної функції, в останній треба зробити підстановку: .

Таким чином, маючи різницеве рівняння або структурну схему дискретної системи, не складно визначити її системну функцію і частотний коефіцієнт передачі.

Приклад. Визначити системну функцію рекурсивного фільтру другого порядку.

Рішення. Введемо для аналізу проміжний сигнал і запишемо рівняння відносно двох суматорів у формі різницевих рівнянь:

(7.51)

(7.52)

Застосовуючи Z –перетворення до рівнянь (7.51) і (7.52), отримуємо:

Отже,

(7.53)

і

Різницеві рівняння зазвичай визначені при і мають набір початкових умов. Тому при рішенні практичних задач зазвичай вводять одностороннє Z -перетворення, що має вигляд

. (7.54)

Для багатьох сигналів властивості одностороннього Z -перетворення аналогічні властивостям звичайного Z -перетворення. Основним виключенням є властивість, пов'язана із зсувом (затримкою) сигналів. Так, затримка на один відлік як і раніше призводить до множення одностороннього Z–перетворення на , але при цьому необхідно врахувати значення сигналу , тобто початкові умови.

Обернене Z -перетворення.

Відповідно до (7.54) функція визначає усю нескінченну сукупність відліків . Помножимо обидві частини ряду (7.54) на множник :

, (7.55)

а потім обчислимо інтеграли від обох частин отриманої рівності, взявши за контур інтегрування замкнуту криву, що лежить цілком в області аналітичності і охоплює усі полюси функції . При цьому скористаємося теоремою Коши

Очевидно, інтеграли від усіх доданків правої частини перетворяться на нуль, за винятком доданку з номером . Тому

, (7.56)

де - замкнутий контур колом , - радіус збіжності .

Вираз (7.56) називають оберненим Z -перетворенням, воно дозволяє знайти відліки по Z -зображеннию . Обернене Z–перетворення існує тільки для таких функцій , які мають лише кінцеве число особливих точок (полюсів), причому особливість в кожній з них є усувною.

Існує декілька методів обчислення оберненого Z -перетворення. Найчастіше користуються теоремою про вирахування (вычеты), згідно якої інтеграл по замкненому контуру від функції комплексного аргументу з точністю до множника дорівнює сумі вирахувань підінтегральної функції в особливих точках (полюсах ), що охоплюються контуром інтегрування :

. (7.57)

Обчислення вирахувань пов'язане з представленням функції у вигляді:

, (7.58)

де є полюсом порядку .

Для знаходження вирахувань використовують наступні формули:

· У разі простого (одноразового) полюса, тобто полюсу з

(7.59)

· У разі кратного полюса, тобто полюсу го порядку,

. (7.60)

Приклад 1. Визначити по зображенню відліки сигналу .

Знайдемо підінтегральний вираз оберненого Z-перетворення:

.

Функція має один простий полюс в точці . Відповідно до (7.59) отримуємо:

.

Приклад 2. Знайти відліки сигналу по його Z -зображенню .

Підінтегральний вираз оберненого Z –перетворення дорівнює:

.

Функція має один двократний полюс . Відповідно до (7.60) отримуємо:

.

Другим методом обчислення оберненого Z -перетворення, вживаним на практиці, є метод розкладання функції на прості дроби. Функцію представляють у вигляді суми елементарних дробів:

,

де - Z –перетворення з одним простим полюсом. З урахуванням того, що кожен доданок має обернене Z–перетворення виду , отримуємо:

Приклад 3. Обчислити обернене Z –перетворення функції .

Представимо у вигляді суми простих дробів:

.

Із зіставлення виду отриманих доданків з прикладами Z -перетворень типових дискретних сигналів (які були розглянуті) видно, що перший доданок відповідає одиничному стрибку з амплітудою, рівною 2, а другий - дискретній показовій функції . Отже, шукана послідовність має вигляд:

.