Виды доказательств по характеру тезиса

Если мы хотим доказать истинность высказывания «Все S есть Р», то мы должны либо дедуктивно вывести его из других истинных общих суждений, либо установить посредством перечисления (в формате полной индукции), что каждый предмет из класса S обладает свойством Р, или показать, что отрицание этого высказывания приводит к противоречию, либо установить, что свойство S детерминирует свойство Р, – то есть доказать необходимость высказывания вида «Все S есть Р». В последнем случае мы доказываем, по существу, более сильное утверждение, а именно утверждение необходимого характера вида «Все S необходимо есть Р».

Для доказательства же ложности рассматриваемого высказывания, то есть для опровержения высказывания «Все S есть Р», достаточно указать хотя бы один случай, когда предмет из класса S не обладает свойством Р.

С доказательством истинности или ложности высказываний вида «Некоторые S есть Р» (существует предмет из класса S, обладающий свойством Р) дело обстоит двойственным (по отношению к высказыванию «Все S есть Р») образом.

Особую значимость в науке имеют доказательства утверждений о наличии необходимых связей, каковыми собственно и являются законы науки. Однако с ними связаны и особые трудности. Мы уже упоминали, что доказательство истинности утверждения «Все S есть Р» можно получить из доказательства истинности высказывания «Свойство S детерминирует свойство Р» (т.е. свойство S обусловливает, предопределяет свойство Р).

Для доказательства утверждения «Всякое число, которое оканчивается на 5 (в десятичной системе), необходимо делится на 5», достаточно показать, что число, оканчивающееся на 5, может быть представлено как сумма чисел, в каждом слагаемом которой имеется делитель 5, и использовать известное положение арифметики о том, что число, являющееся делителем каждого члена суммы (в данном случае 5), является также и делителем всей суммы.

Виды доказательства по форме. Основными видами доказательств, различающихся по форме, являются доказательства прямые и непрямые (косвенные).

Прямые доказательства представляют собой дедуктивный вывод, в котором тезис непосредственно выводится из аргументов в качестве заключения вывода.

Непрямое доказательство (истинности или ложности) высказывания А (тезиса) состоит в том, что оно достигается посредством опровержения некоторых других высказываний. Здесь выделяются два вида непрямых доказательств: доказательство «от противного» (апагогическое) и доказательство посредством исключения альтернатив.

Доказательство «от противного» осуществляется посредством применения непрямого правила рассуждения. Для доказательства истинности А при наличии множества аргументов Г предполагается ложность этого высказывания (истинность А) и показывается, что из Г и этого предположения выводимо противоречие: В и В. Указанное правило позволяет заключить при этом, что из аргументов Г выводимо А.

Известна также форма непрямого опровержения А (доказательство А), осуществляемое по правилу. Опровержение этого рода характеризуется как опровержение путем сведения к абсурду.

Доказательство посредством исключения альтернатив. Рассмотрим для примера доказательство того, что некоторый поступок совершил Петров. Мы используем в качестве аргумента дизъюнктивное высказывание (перечисление альтернатив): «Этот поступок совершил Иванов, или Сидоров, или Петров», а также знание (которое составляет другие аргументы), что «Иванов не совершал и Сидоров не совершал этого поступка». Отсюда, исключая первые два члена из приведенной дизъюнкции, получаем заключение: «Поступок совершил Петров».

Условием истинности дизъюнктивного аргумента является перечисление именно всех возможностей, среди которых и тезис, и все его возможные альтернативы.

Данное правило рассуждения, лежащее в основе непрямого доказательства посредством исключения альтернатив, является обобщением известной дедуктивной формы дизъюнктивного силлогизма