Х1 ≤ х2 ≤ ... ≤ хN

Покладемо Х = х₁ та Y = x_N і розглянемо просту лотерею

L(X, p, Y). (8.19)

За означенням функції корисності будь – який наслідок х_s складеної лотереї можна замінити еквівалентною простою лотереєю L(X, U(x_g), Y), причому завжди можна зробити так, щоб усі прості лотереї були взаємно незалежними та незалежними від результатів складеної лотереї. У результаті подібних перетворень ми замінюємо складену лотерею L(x₁,...., x_N, p_1, ,...., p_N) на систему двох лотерей: складеної та простої (рис. 8.1).

 

Рис. 8.1. Зведення складеної лотереї до простої

Те що зображене на рис. 8.1, нагадує популярну гру капітал – шоу «Поле чудес», де в результаті розіграшу лотереї і потрапляння на сектор «Приз» можна взяти участь ще у одній лотереї (або приз у чорній скриньці, або пропонована ведучим грошова сума).

Користуючись формулами додавання та множення ймовірностей, можна визначити ймовірність виграшу У. Вона становить величину

 

N

P(У) = p₁U(x₁) + p₂U(x₂) +... + p_NU(x_N) = ∑ p_sU(x_s). (8.20)

S = 1

Формула (6.20) дає дороговказ для розв’язання центральної проблеми теорії ризику – порівняння ефективності ризикованих рішень, які зводяться до складених лотерей. Припустимо, що маємо два ризикованих рішення, наслідки яких описуються складеними лотереями

L(x₁,..., x_N, p₁,..., p_N) (8.21)

та

L(y₁,...., y_T, q₁,.... q_T). (8.22)

Знайдемо найгірший та найкращий наслідки серед наслідків двох лотерей (8.21) та (8.22), тобто, мінімальне та максимальне числа серед х₁ ,...., х_N та у₁,..., у_{Т .} Позначимо найгірший наслідок через Х, найкращий – через У. Користуючись щойно описаною процедурою (рис. 6.1) можна звести наслідки обох ризикованих рішень до простих лотерей L(X, P, У) та L(X, Q, У). Підкреслимо, що ймовірності наслідків, а також сама їх кількість для складених лотерей (8.21) та (8.22) різні, а ми зводимо обидві лотереї до простих, причому з однаковими виграшами та програшами. Розрізняються лише ймовірності виграшу. Але порівняння двох простих лотерей з однаковими виграшами та програшами – очевидне: де більша ймовірність виграшу, та лотерея привабливіша для особи, яка приймає рішення.

Формула (9.20) неважко переписати для лотереї (8.22), а саме:

 

 

Т

Q(У) = q₁U(y₁) + q₂U(y₂)+...+q_T U(y_T) =∑ q_sU(y_s). (8.23)

S = 1

 

Якщо Р(У)> Q(У), то привабливішим є рішення, наслідки якою описуються лотереєю L(x₁,..., x_N, p₁,...p_N); якщо P(Y)< Q(Y), то привабливішим є рішення, яке стосується лотереї L(y₁,...., y_T, q₁,...., q_T), і нарешті, при P(У)=Q(У), рішення є еквівалентними.

Формула (8.20) та (8.23) допускає інші читання. Позначимо через ξ доход, який може набувати значень х₁,...., х_N з імовірностями р₁,...., р_N, а через η – випадкову величину корисності доходу. Очевидно, що η набуває значень U(x₁), U(x₂),...., U(x_N) з імовірностями р₁,..., р_N. Обчислимо математичне сподівання η;. За означенням

N N

М_η = ∑ p_sη _s = ∑ p_sU(x_s), (8.24)

S = 1 S = 1

що точнісінько збігається з імовірністю виграшу у лотереї L(X, P, Y)!

Оскільки всі складені лотереї можна звести до однієї простої з однаковими виграшами та програшами (ця лотерея у літературі має назву базисної лотереї, або базисного контракту), у якій варіюється лише ймовірність виграшу, то критерієм привабливості (корисності) складеної лотереї є імовірність виграшу у простій лотереї. Ця ймовірність у свою чергу збігається з математичним сподіванням корисності наслідків складеної лотереї!

Звідси маємо важливий висновок: корисність складеної лотереї збігається з математичним сподіванням корисності наслідків лотереї.

Можна використати дещо інше формулювання: ефективність ризикованого рішення збігається з математичним сподіванням корисності наслідків цього рішення.

Якщо через ξ позначити випадковий прибуток, то сформульований висновок можна записати за допомогою лаконічної формули

UL= MU(ξ), (8.25)

де UL – корисність складеної лотереї.

Сформульований висновок – осердя так званої теорії сподіваної корисності, яку започаткували у сучасному вигляді Дж.Ф. Нейман та О. Моргенштерн. Істотний внесок у розвиток цією теорії здійснив Л.Севідж. Тому цю теорію називають теорією сподіваної корисності Неймана – Моргенштерна – Севіджа. Опубліковано фундаментальні огляди досягнень, що стосуються експансії теорії сподіваної корисності як у теоретичній царині, так і у галузі застосувань.

Варто підкреслити принципову відмінність формули (8.25) від широковживаного критерію «максимум сподіваного прибутку (доходу)». (8.25) на відміну від щойно зазначеного критерію націлює на отримання «максимуму сподіваної корисності від прибутку (доходу)».

Викладемо у рафінованому вигляді основні аксіоми, на базі яких виводиться основна формула сподіваної корисності.

1. Аксіома впорядкованості.

З кожної пари простих лотерей L₁ та L₂ особа, яка приймає рішення, може вказати на привабливішу або погодитись з тим, що вони еквівалентні для неї. Іншими словами, можливий один і лише один з трьох випадків:

L₁ L₂, L₂ L₁, L₁ ~ L₂, (8.26)

Де знак «» означає «привабливіший».

2. Аксіома транзитивності.

Якщо лотерея L₁ привабливіша порівнянню з L₂, яка у свою чергу привабливіша ніж L₃, то лотерея L₁ привабливіша, ніж L₃, або

L₁ > L ₂ , L₂ > L₃, => L₁ > L_{3 .} (8.27)

3. Аксіома монотонності за імовірність.

Серед двох простих лотерей L(X, P, У) та L(X, Q, У) привабливішою є та, для якої імовірність більшого виграшу(У) є вищою, або

P > Q => L(X, P, Y) L(X, Q, Y); (8.28)

P = Q => L(X, P, Y) ~ L(X, Q, Y). (8.29)

4. Аксіома існування детермінованого еквівалента.

Для кожної простої лотереї особа, що приймає рішення, може вказати детермінований еквівалент, або