Статистические средние: виды, способы расчета. Оценка надежности средних. Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени

 

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-экономических явлений.

Требования, предъявляемые к средним величинам:

– средняя должна характеризовать качественно однородную совокупность;

– средние должны исчисляться по данным большого числа единиц, составляющих совокупность, то есть отображать массовые социально-экономические явления.

Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую оценку результатам расчетов средних показателей.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у единиц совокупности.

В экономических исследованиях применяются две категории средних: степенные и структурные.

 

Таблица 2.1 - Виды средних величин

Наименование средней	Формула средней
Простая	Взвешенная
Арифметическая	___ Х = ∑ х / n	___ Х = ∑ xf / ∑ f
Гармоническая	___ Х = n / ∑ 1/x	___ Х = ∑ M / ∑ (1/x)M
Геометрическая	___ n Х =√ x1 ∙ x2 ∙ xn-1 ∙ xn	___ ∑ f f1 f2 fn Х = √ x1 ∙ x2 ∙ xn
Квадратичная	___ Х = √ ∑ x² / n	___ Х = √ ∑ x² / ∑ f

 

Х – индивидуальное значение признака, n – число значений признаков.

К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.

___

Средняя обозначается через Х.

Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквой f.

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задач исследования и наличия исходной информации.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое количество раз.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (то есть М = х ∙ f).

Средняя гармоническая простая встречается в тех случаях, когда веса одинаковы, то есть равны между собой.

Средняя геометрическая простая используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики.

Средняя квадратическая используется для расчетов среднего квадратического отклонения (σ) при изучении темы «Показатели вариации».

Для вычисления средней в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, то есть по средней арифметической взвешенной:

___

Х = ∑ xf / ∑ f (2.6)

Для вычисления средней в интервальных рядах нужно перейти к дискретному ряду, то есть по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением и вычислить по формуле:

____

X = ∑ {(∑ x/2) ∙ f} / ∑ f (2.7)

Для того чтобы проверить правильность выбора формул, надо учитывать:

– среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значений признака совокупности;

– среднее значение ближе к тому значению признака, которому соответствует большая частота.

Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами, полученными расчетным путем, в то же время эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или иметь одинаковое значение для совокупности с различным строением.

Структурные средние используются для более полной характеристики совокупности. К ним относятся:

Мода – это варианта с наибольшей частотой (М0);

Медиана – это варианта, делящая совокупность на две равные части (Мс).

Квартили – это варианта, делящая совокупность на 4-ре равные части.

Децили – это варианта, делящая совокупность на десять равных частей.

Выбор вида средней величины в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся данных.

Для дискретного ранжированного ряда значения признака расположены в порядке возрастания или убывания, место медианы в ряду определяют по формуле:

Nme = (n + 1) / 2, (2.8)

где n – число членов ряда.

Если же ряд распределения состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

 

M0 = (хмо+ i) ∙ {(fmo – fmo-1) / [(fmo – fmo-1) + (fmo – fmo+1)]}, (2.9)

 

где xмо – нижняя граница модального интервала;

fmo – частота модального интервала;

fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном ряду распределения для нахождения медианы сначала указывают интервал, в котором она находится.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы начисляется по формуле:

 

Me = (Xme + i) ∙ / [(∑ f/2 – Sme-1) / fme], (2.10)

где f – сумма частот ряда;

Xme – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала;

Sme-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

fme – частота медианного интервала.

Мода, медиана, средняя для дискретного ряда распределения и для интервального ряда называются показателями центра распределения, т.к. они используются для анализа вариационного ряда.

 

Контрольные вопросы

 

1. Принципы формирования научно-обоснованных статистических средних?

2. Чем отличаются расчеты средних для упорядоченных и вариационных рядов?

3. Как оценивают качественную сущность одномерной совокупности средние разного содержания?

4. Свойства средней арифметической при ее расчете методом моментов?

5. Как располагаются средние (по способу расчета) согласно принципа мажорантности?

6. Как формируются неформальные «веса» для расчета средних взвешенных?

7. Понятия и способы расчета моды и медианы?

8. Как используются мода и медиана для оценки устойчивости средней вариационного ряда?