Оценки вариации одномерной совокупности. 2.5.1 Решение типовых задач
2.5.1 Решение типовых задач
1) Рассчитайте показатели вариации для дискретного ряда (не сгруппированных) данных, если известны выработка двух бригад строителей по одному виду продукции. Данные представлены в таблица 5.1.
Таблица 2.22 – Показатели выработки двух бригад строителей
Решение
а) Абсолютные показатели вариации: размах вариации – R = Xmax – Xmin:
R1 = 30 – 14 = 16 деталей; R2 = 29 – 15 = 14 деталей.
Отклонение крайних вариант выработки в 1 бригаде на две детали выше, чем во второй (16 – 14). Для нахождения остальных показателей вариации необходимо найти среднюю выработку по каждой бригаде. Определяем среднюю выработку по средней арифметической простой: ___ Х = ∑ х / n; ___ Х1 = 147 / 7 = 21 деталь; ___ Х2 = 154 / 7 = 22 детали;
среднее линейное отклонение: ___ ___ d = ∑ (x – X) / n; ___ d1 = 32/ 7 = 4, 57 деталей; ___ d2 = 26 / 7 = 3, 7 деталей. Степень рассеивания признаков в 1-й бригаде выше, чем во 2-й. Дисперсия (средний квадрат отклонений) и среднее квадратическое отклонение для несгруппированных данных рассчитывается по формулам: ___ σ ² = ∑ (х – Х)² / n; ___ σ = √ ∑ (х – Х)² / n; ___ σ 1² = 200 / 7 = 28, 57 деталей; ___ σ 2² = 138 / 7 = 19, 70 деталей; σ 1 = √ 28, 57 = 5, 34 деталей; σ 2 = √ 19, 70 = 4, 43 детали. Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Соотношение (σ /d) для нормального закона распределения должно равняться примерно (1/2). В задаче соотношение:
1бр=5, 34 / 4, 57 = 1, 17; 2бр = 4, 43 / 3, 7 = 1, 2. Следовательно, резких выделяющихся отклонений не однородных с основной массой элементов не наблюдается.
б) Относительные показатели вариации. Коэффициент осцилляции или относительный размах вариации: ___ VR = (R / X) * 100%; R1 = (16 * 100)/21 = 76%; R2 = (14 * 100)/22 = 63%. Колеблемость крайних показателей выработки вокруг средней в 1-й бригаде больше, чем во 2-й. Линейный коэффициент (относительное линейное отклонение): __ ___ __ __ υ d=(d / X)*100%; υ d1=(4, 57*100)/21=21%; υ d2=(3, 7*100)/22=17%. Доля усредненных значений абсолютных отклонений от средней в 1-й бригаде выше, чем во 2-й на четыре процента (21-17). Коэффициент вариации: ___ υ σ = (σ ∙ 100%) / Х; υ σ 1 = (5, 34 х 100) / 21 = 25%; υ σ 2 = (4, 43 х 100) / 22 = 20, 1%. Так как коэффициент вариации < 17%, совокупности считаются однородными.
2) Имеется распределение предприятий по объему выпуска продукции:
Таблица 2.23 – Показатели выпуска продукции по предприятиям
Оценить вариационный ряд по выпуску продукции.
Решение ___ а) Х = ∑ [(х / 2)*f] / ∑ f = 96 / 20 = 4.8 млн. руб. ___ б) d = ∑ [(xi – X) * f] / ∑ f = 33, 2 / 20 = 1, 66 млн. руб. ___ в) σ ² = ∑ [(xi – X)² ∙ f] / ∑ f = 95, 2 / 20 = 4, 76 млн. руб. ___ г) σ =√ ∑ [(xi –X)² ∙ f] / ∑ f =√ 95, 2 / 20=2, 18 млн. руб. ___ д) υ σ = σ / Х= (2, 18 / 4, 8) x 100=45, 4% Следовательно, вариация групп предприятий по выпуску продукции абсолютно однородная, т.к. коэффициент вариации меньше 17% составляет 10%.
3) По двум цехам известны разряд и число рабочих. Дать квалификационную характеристику рабочих и рассчитать средний тарифный разряд. Показать правило сложения дисперсий, найти все виды дисперсий.
Таблица 2.24 – Данные для расчета
Решение
а) Для квалификационной характеристики состава рабочих необходимо найти средний тарифный разряд для каждой бригады и общий по двум бригадам: ___ Х= ∑ (хf) / ∑ f; ___ Х1 = 168 / 48 = 3, 5; ___ Х2 =132 / 52 = 2, 54; ___ Хобщ= 300 / 100 = 3.
б) Рассчитаем общую дисперсию: ___ σ ² = ∑ [(х – Х)² f] / ∑ f = [(1 – 3)² *15 + (2 – 3)² * 30 + (3 – 3)² * 20 + (4 – – 3)² * 15 + (5 – 3)² * 15 + (6 – 3)² * 5] / 100 = 210 / 100 = 2, 1.
в) Рассчитаем групповую дисперсию: ___ σ i² = ∑ [(хi – Х)² fi] / ∑ fi σ 1² = [(1 – 3, 5)² * 5 + (2 – 3, 5)² * 9 + (3 – 3, 5)² * 9 + (4 - 3, 5)² * 10 + (5 – – 3, 5)² * 12 + (6 – 3, 5)² * 3] / 48 = 102 / 48 = 2, 125.
г) Рассчитаем групповую дисперсию по второму цеху: σ 2² = [(1 – 2, 54)² *10 + (2 – 2, 54)² * 21 + (3 – 2, 54)² * 11 + (4 – 2, 54)² * 5 + (5 – 2, 54)² * 3 +(6 – 2, 54)² * 2] / 52 = 84, 9 / 52 = 1, 633
д) Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:
σ i² = ∑ (σ 1² f1 + σ 2² f2) / ∑ f = (2, 125 * 48 + 1, 633*52) / 100 = 186, 91/100=1, 87 Таким образом, средний тарифный разряд колеблется по 1-му цеху – 2, 125; по 2-му цеху – 1, 633; по обоим цехам вместе - 1, 87.
е) Оценим колеблемость признака через межгрупповую дисперсию: ___ ___ ___ ___ Y² = {∑ [(Х1 – Хо)² f1] / ∑ f1} – {∑ [(Х2 – Хо)² f2] / ∑ f2} = [(3, 5 – 3)² * 48 – (2, 54 – 3)² * 52] / 100 = 23 / 100 = 0, 23 Итак, колеблемость групповых средних по сравнению с общей равна 0, 23. Для проверки правильности выбранного решения используем правило сложения дисперсии: сумма межгрупповых дисперсий и средней из групповых равна общей дисперсии: __ σ ² = Y² + σ i² = 1, 87 + 0, 23 = 2, 1, что подтверждает правильность решения.
2.5.2 Задачи для самостоятельного решения 1) Распределение рабочих трех заводов одной отрасли по тарифным разрядам характеризуются следующими данными.
Таблица 2.25. – Показатели заводов
Определите: а) групповые дисперсии по каждому заводу; б) средние из групповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию и коэффициент вариации.
2) Распределение населения города по среднедушевому доходу.
Таблица 2.26 – Данные по доходам
Определите для данного вариационного ряда средний уровень дохода в месяц, структурные средние, абсолютные и относительные показатели вариации.
3) Имеются данные о суммах, полученных кредитов 50 предприятий
Таблица 2.27 – Данные о кредитах
Определите моду, медиану, все абсолютные и относительные показатели вариации.
2.6. Статистические оценки параметров распределения 2.6.1. Решение типовых задач 1) Имеются данные о выпуске продукции за шесть лет. Определить показатели динамики выпуска за анализируемый период. Исчисленные экономические показатели представлены в таблица 6.1.
Таблица 2.28– Данные о выпуске продукции
Абсолютный прирост базисный:
250 – 240 = 10; 270 – 240 = 30 и т.д.
Абсолютный прирост цепной:
250 – 240 = 10; 270 – 250 = 20 и т.д.
Трц = (270 ∙ 100) / 250 = 108; Трб = (250 ∙ 100) / 240 = 104, 2.
Определяем базисный и цепной темпы прироста:
ТПРБ = ТРБ – 100 = 104, 2 – 100 = 4, 2
Средний уровень интервального ряда динамики определяется по формуле: ___ У = ∑ у/n = (240+250+270+275+290+305)/6 = 1630/6 = 271, 66 млн. руб.
Средний абсолютный прирост: ___ ∆ базис = ∑ ∆ /(n-1) = (10+30+35+50+65)/(6-1) = 190/5 = 38 млн. руб. ___ ∆ цепн = (10 + 20 + 5 + 15 + 15) / (6-1) = 65 / 5 = 13 млн. руб. ___ ∆ = (Уn – У1) / (n – 1) = (305 – 240) / (6 – 1) = 65 / 5 = 13 млн. руб. __ n n 5
≈ 1, 149 млн. руб.
2) Имеются данные о товарных запасах по продовольственным товарам на предприятии (млн. руб.)
Табл. 6.2
Определить среднемесячные товарные запасы на предприятии.
Решение
Для определения среднего уровня моментного ряда динамики с равными интервалами между отдельными датами воспользуемся формулой средней хронологической моментного ряда: ___ У = (1/2у1 + у2 + … + уn-1 + 1/2уn) / (n –1), где у1 и уn – уровни соответственно на начало и конец периода, за который исчисляется средний уровень; n – число уровней ряда. ___ У = (105/2 + 135 + 160 + 190/2)/(4 – 1) = 147, 5 млн. руб. Среднемесячные товарные запасы на предприятии за исследуемый период составили 147, 5 млн. руб. Эту же задачу можно решить другим способом: ___ У = [(105+135)/2 + (135+160)/2 + (160+190)/2] / (4-1) = 147, 5 млн. руб.
3) Имеются следующие данные по продаже товаров за год по месяцам.
Таблица 2.29
Рассчитать показатели сезонности.
Решение
Рассчитаем показатели сезонности (кс):
а) Jc = уi / у или кс; ___ б) У = ∑ уi / n = 2016 / 12. Для характеристики сезонности рассчитаем следующие показатели: ___ – коэффициент сезонности – кс = уi ÷ У, где кс – отношение объема продаж за каждый месяц к среднему уровню объема продаж. – как видно из примера, среднемесячный объем продаж ___ У = 2016 ÷ 12 = 168 млн. руб. – Аналогично рассчитаем коэффициент сезонности за все месяцы. Наибольшее значение кс в марте – 1, 24, а наименьшее в декабре – 0, 72. Отсюда можно рассчитать размах вариации R = 1.24 – 0, 72 = 0, 52, т.е. более половины среднемесячной величины.
2.6.2. Задачи для самостоятельного решения 1) Определить приросты, темпы роста и прироста, абсолютное значение 1% прироста в ряду динамики.
Таблица 2.30 – Расчетные данные к задаче
2) Определить среднегодовой коэффициент выпуска трубной продукции металлургического завода
Таблица 2.31 – Расчетные данные к задаче
3) Имеются данные об изменении затрат на рубль товарной продукции в процентах к предыдущему году
Таблица 2.32 – Данные об изменении затрат по годам
Определите: а) изменение затрат за весь период; б) темп прироста или снижения затрат в среднем за год. 4) Восстановите динамику выпуска продукции:
Таблица 2.33 – Исходные данные
Вычислить и заполнить в таблице уровни ряда динамики.
5) По промышленному предприятию известны данные о объемах выпуска продукции в тоннах (тн):
Таблица 2.34 – Данные о выпуске продукции
Для анализа динамики выпуска продукции вычислите: а) среднегодовой выпуск продукции; б) базисные, цепные и среднегодовые показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста выпуска продукции; в) проверьте ряд динамики выпуска продукции на наличие тренда. Используя метод аналитического выравнивания, постройте уравнение прямой, сделайте выводы.
6) Известны данные об остатков вкладов по одному из коммерческих банков:
Таблица 2.35 – Данные банка об остатков вкладов
Определите: а) средние квартальные и среднегодовые остатки вкладов по определению банка; б) произведите сглаживание ряда динамики методом скользящей средней и аналитического выравнивания по прямой; в) на основе исчисленных показателей определите ожидаемые уровни остатков вкладов населения на 1.04.14 года.
|
КР.БАЗ. = √ КР1∙ КР2∙ …∙ КРn-1∙ КРn = √ 1, 042∙ 1, 125∙ 1, 146∙ 1, 208 = √ 2, 0626≈
