Статистические средние: виды, способы расчета. Оценка надежности средних

 

2.4.1 Решение типовых задач

1) Имеются данные о заработной плате бригады строителей по профессиям.

 

Таблица 2.13 Данные по бригаде строителей

Монтажники	Слесари-сантехники	Сварщики
Заработная плата, руб.	Число рабо чих, чел.	Заработная плата, руб.	Число рабо чих, чел.	Заработная плата, руб.	Число рабо чих, чел.
Итого

 

Определите среднюю заработную плату рабочих по профессии и в целом по бригаде.

 

Решение

 

Исчислим среднюю заработную плату для монтажников. В данном случае веса (частоты) равны единице, следовательно, расчет средней заработной платы монтажников произведем по формуле средней арифметической простой:

__

Х = ∑ Х / n = (9000 + 9300 + 9600) / 3 = 27900 / 3 = 9300 руб.

Если в рядах распределения веса (частоты) равны между собой (слесари-сантехники), то расчет производится тоже по формуле средней арифметической простой.

Следовательно, средняя заработная плата слесарей-сантехников будет равна:

___

Х = ∑ Х / n = (10500х2 + 10650х2 + 10410х2)/6 = 31560/3 = 10520 руб.

 

Если же частоты имеют различные качественные значения (сварщики), то средняя заработная плата определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

___

Х = ∑ Хf / ∑ f = (12000х5 + 13500х3 + 15000х2)/10=130500/10=13050 руб.

Средняя заработная плата рабочих по бригаде строителей может быть оп-ределена двумя способами:

 

а) как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних:

___

Х = ∑ Xif/∑ f=(9300x3+10520x6+13050x10)/19=221520/19=11659 руб.;

б) как отношение фонда оплаты по группам профессий к общей численности рабочих этих групп:

___

Х = (27900+63120+130500)/19=221520/19=11658, 9.

 

2) Имеются сведения о ценах реализации мяса на ярмарке города в базисном и отчетном периодах.

 

Таблица - 2.14. Данные по базисному и отчетному периодах

Категория мяса	Базисный период	Отчетный период
Цена за кг (х)	Продано кг (f)	Выручка (х∙ f)	Цена за кг (х1)	Выручка (х1∙ f)
Итого:

 

Определить среднюю цену реализации мяса в базисном и отчетном периодах.

Решение

 

Средняя цена в базисном периоде определяется исходя из экономического содержания по формуле средней арифметической взвешенной:

 

___

Х = ∑ хf /∑ f = 58000 / 300 = 193, 3 руб.

В отчетном периоде из вестны выручка и цена, количество товара неизвестно. Для получения количества проданного мяса нужно выручку разделить на цену, а затем всю выручку разделить на полученный результат. Таким образом, в данном примере необходимо использовать среднюю гармоническую взвешенную:

___

Х=∑ м/∑ (м/х)=(100000+180000)/(100000/(100000/200+180000/180) = 280000/(500+1000)=186, 7 руб.

 

3) Имеются данные о возрастном составе студентов дистанционной формы обучения по одному из учебных заведений области: 18, 35, 36, 28, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 32, 23, 25, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 26, 29, 27.

Для анализа распределения студентов дистанционной формы обучения требуется:

а) построить интервальный ряд распределения;

б) дать графическое изображение ряда;

в) исчислить показатели центра распределения, сформировать вывод.

 

Решение

 

а) Для построения интервального ряда определим величину интервала группировки:

 

i = (Xmax – Xmin) / n;

n – примем равным 5.

 

i = (38 – 18) / 5 = 4 года.

 

Таблица 2.15 –Интервальный ряд распределения

Группы студен-тов по возрасту (лет) х	Число студентов (чел) f	Накопленная частота S1	Середина интервала Х′ =х/2
18-22
22-26
26-30
30-34
34-38
Итого

 

б) Графически вариационный интервальный ряд может быть представлен в виде гистограммы, полигона, кумуляты.

Гистограмма, полигон и кумулята строятся в прямоугольной системе координат. На рис. 4.1 показана гистограмма и полигон распределения. Для преобразования гистограммы в полигон распределения середины верхних сторон прямоугольников соединяют отрезками прямой, и две крайние точки прямоугольников замыкаются на оси абсцисс на середине интервалов.

 

число студентов

10 -

8-

6 -

 

‌ 4 -

‌

2 -

 

 

18 22 26 30 34 38 возраст

Рис. 4.1. Гистограмма, полигон распределения студентов по возрасту

 

На основе построения гистограммы графически можно определить моду. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (Мо=28 лет).

Для графического определения медианы используется кумулята (рис. 4.2).

Кумулята строится по накопленным частотам, Мс ≈ 28, 5 года.

в) Расчет показателей центра распределения:

___

Х = ∑ х′ f /∑ f,

 

где х′ – среднее значение признака в интервале или цент интервала.

 

(Х′ =∑ х/2) = (20*2 + 24*8 + 28*9 + 32*8 + 36*3) / 30 = 848 / 30 = 28, 3 года.

 

Средний возраст студентов дистанционного обучения 28 лет.

 

30 -

число студентов

-

 

20 -

 

-

‌ 10 -

‌

-

 

0

18 22 26 30 34 38 возраст

 

Рис. 4.2. Кумулята распределения студентов

 

Найдем структурные средние Мо и Мс:

 

Мо=хо+i*{(fmo – fmo-1)/[fmo – fmo-1 + (fmo – fmo+1)]}=26+4*{(9 – 8)/[(9 – 8) + + (9 – 8)]}=26+4*[1/(1+1)] = 28.

Значение полученной моды по формуле соответствует значению моды, полученной на графике.

 

Мс=хmc+i*[(∑ f/2 – Smc-1)/fmc]=26+4*[(30/2 – 10)/9]=28, 44 года.

 

На графике Мс = 28, 5, что соответствует расчетным данным.

 

2.4.2. Задачи для самостоятельной работы

 

1) На основе следующих данных рассчитайте средний объем производства на один завод. Полученный результат отразите в таблице.

 

Таблица – 2.17 Данные по заводу

№ завода (n)	Кол-во проданных (х), тыс. тонн	№ завода (n)	Кол-во проданных (х), тыс. тонн
	2, 9		3, 8
	3, 1		3, 9
	3, 2		4, 1
	3, 5		4, 3
	3, 8		4, 3
	Сумма = ∑ х

 

2) Определите среднюю выработку рабочих, используя при этом не абсолютные величины, а относительные величины (частности). При решении задачи используйте данные таблицы 2.18.

 

Таблица 2.18. – Данные по выработке рабочих

К-во деталей, выработанное одним рабочим	Число рабочих	Доля работников к общей численности, % (частности)	Произведение количества деталей на долю работников к общей численности
Итого

 

3) Определите моду, медиану для следующего интервального ряда.

 

Таблица 2.19. – Данные к решению задачи

Выработка рабочих, руб.	Число рабочих с этой зарплатой	Накопленные частоты
6000-7000
7000-8000
8000-9000
Продолжение таблицы 2.19.
9000-10000
10000-11000
11000-12000
12000-13000
13000-14000
14000-15000
Итого

 

4) Определите среднюю цену огурцов на трех рынках города март месяц

 

Таблица 2.20. – Данные по объемам продаж и ценам

№ п/п рынка	Продано огурцов, в руб	Цена за кг., руб.

 

5) Имеются следующие данные о распределении заводов по объему выплавки проката (данные условные):

 

Таблица 2.21 – Данные о выплавке проката по заводам

Заводы с годовой выплавкой, тыс. тн.	Число заводов
2012 год	2013 год
До 100
100 – 300
300 – 500
500 – 700
Свыше 700
Итого

 

Определить моду, медиану, среднюю годовую выплавку проката.