ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

Рассказывают, что в библиотеке университета Сарагосы есть книги, обладающие вздорным нравом. Возьмет, бывало, такую книгу в руки старательный студент, а ей покажется, что он руки не вымыл, или просто лицо его не понравится, и тогда вместо подлинных записей бедняга прочитает там бессмысленную ерунду, а то и вовсе запрещенную ересь, вызубрит наизусть, скажет потом вслух на экзамене, и жизнь его пойдет прахом. Правда, говорят, что некоторые студенты, напротив, нравятся книгам. И тогда они обнаруживают среди страниц учебника тайные знания, сокрытые даже от профессоров. Но и в этом случае жизнь их зачастую идет прахом, ибо многие знания сулят многие беды, и нельзя человеческому уму подолгу раздумывать о непостижимом.

Макс Фрай «Большая телега»

 

 

Вариант 1

 

1. Четыре студента садятся в поезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый студент с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения студентов в поезде.

2. В ящике 20 шариков, помеченных номерами 1, 2, …, 20. Из ящика наудачу извлечены 5 шариков. Найти вероятность того, что среди них окажется шарик с номером 3.

3. Стрелок произвёл четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причём вероятность попадания в начале стрельбы равна 0, 7, а после каждого выстрела уменьшается на 0, 1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена три раза.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, 4), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 5.

5. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной продукцию с вероятностью 0, 96, если она стандартна, и с вероятностью 0, 06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдёт упрощённый контроль. Взятое изделие прошло упрощённый контроль, найти вероятность того, что оно стандартное.

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 0, 3. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий?

7. Вероятность рождения мальчика равна 0, 515. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.

8. У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется).

X	– 4
P	0, 1	0, 5	0, 2

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

 

 

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

X\Y	– 4
	0, 1	0, 2	d
	0, 05	0, 12	0, 15

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

 

Вариант 2

 

1. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 6, 7, 9, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной кости выпадет 5 очков; б) сумма выпавших очков не превосходит 6.

3. Из букв А, А, И, Л, М, Н разрезной азбуки выбирают наудачу по одной букве и ставят в ряд. Найти вероятность того, что получится слово МАЛИНА.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, …), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 5.

5. По статистическим данным в конкретном регионе подозреваемый в тяжком преступлении виновен с вероятностью 0, 95. Виновный осуждается с вероятностью 0, 9. Невиновный ошибочно осуждается с вероятностью 0, 02. Найти вероятность того, что арестованный подозреваемый будет осуждён. Найти вероятность того, что осуждённый действительно виновен.

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 0, 4. Производится пять выстрелов. Какова вероятность не менее двух попаданий?

7. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие появится не менее 104 раз, если вероятность его наступления в каждом независимом испытании равна 0, 2.

8. Испытываются три прибора на надёжность. Вероятности выхода из строя каждого прибора соответственно равны 0.1, 0.2, 0.3. Пусть X – число вышедших из строя приборов. Составить таблицу распределения случайной величины X.

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

X	– 2
P	0, 1	0, 6	0, 2

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

 

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

X\Y	– 1
– 1	0, 08	0, 02	d
	0, 3	0, 05	0, 15

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

 

Вариант 3

 

1. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 12 спортсменов?

2. В десятиэтажном доме лифт может останавливаться на девяти этажах, начиная со второго. В лифт вошли три пассажира, каждый из которых с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже. Найти вероятность того, что пассажиры выйдут на разных этажах.

3. В коробках находятся детали: в первой – 20, из них 13 стандартных; во второй – 30, из них 26 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся нестандартными; б) одна деталь нестандартная; в) обе детали стандартные.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, …), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 5.

5. В норе сидят 6 мышей и 9 крыс. Одно из животных выбегает из норы. Вероятность того, что кот поймает мышь, равна 0, 8, крысу 0, 4. Найти вероятность того, что выбежавший грызун будет пойман. Какова вероятность, что из норы выскочила мышь, если известно, что кот поймал грызуна?

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равно 0, 5. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание в цель?

7. Монета подбрасывается 2010 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 1000 раз?

8. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при втором – 0.7, при третьем – 0.8. Стрельба по цели ведётся до получения одного попадания, но производится не более трёх выстрелов. Найти ряд распределения случайной величины X – числа выстрелов.

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

X	– 2
P	0, 3	0, 3	0, 2

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

 

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

X\Y	– 2
	0, 1	0, 2	d
	0, 05	0, 1	0, 25

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

 

Вариант 4

 

1. Сколько имеется четырёхзначных чисел, все цифры у которых различны?

2. На полке случайным образом расставляются 9 книг. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся стоящими рядом.

3. Из набора цифр от 0 до 9, написанных по одной на 10 одинаковых картонках, извлекаются по одной 4 цифры и ставятся в ряд. Какова вероятность того, что получившееся число 1957? Рассмотреть два случая выборки: без возвращения и с возвращением.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, …), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 5.

5. На рынке продают грибы из Литвы (25%), Латвии (30%), а остальные – из Эстонии. Доля червивых грибов среди литовских составляет 5%, среди латвийских – 3%, а среди эстонских – 6%. Найти вероятность того, что купленный на удачу гриб оказался червивым. Какова вероятность того, что купленный гриб привезён из Эстонии, если он оказался червивым?

6. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0, 5, определить вероятность того, что в данной семье три мальчика.

7. Некачественные изделия составляют 2% всей продукции цеха. Какова вероятность того, что среди 200 наудачу взятых изделий окажется не более 5 некачественных изделий.

8. АТС обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение 3-х минут на АТС поступит вызов, равна 0.002. Построить ряд распределения случайной величины X, равной числу вызовов, поступивших на АТС в течение 3 минут.

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

X	– 1
P	0, 1	0, 1	0, 2

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

 

 

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

X\Y
	0, 13	0, 27	d
	0, 05	0, 1	0, 15

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

 

Вариант 5

 

1. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг (три горизонтальные полосы), если имеется материя 6 различных цветов?

2. Какова вероятность того, что при бросании двух кубиков сумма очков будет кратна четырём?

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0, 35. Найти вероятность попадания при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0, 75.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, …), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 5.

5. В первой урне 1 белый и 2 чёрных шара, во второй – 100 белых и 100 чёрных шаров. Из второй урны переложили в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый? Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый?

6. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0, 5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее трёх, но не более восьми.

7. Некачественные изделия составляют 3% всей продукции цеха. Какова вероятность того, что среди 300 наудачу взятых изделий окажется два или три некачественных изделия.

8. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

 

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

X	– 5
P	0, 1	0, 2	0, 2

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

X\Y	– 1
	0, 12	0, 28	d
	0, 05	0, 2	0, 15

 

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

 

Вариант 6

 

1. Из группы в 12 человек выбирают трёх участников эстафеты 400х200х100. Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах?

2. Из колоды в 36 карт вытаскивают 3. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно две карты пиковой масти?

3. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будет сброшено четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0, 3; 0, 4; 0, 6; 0, 7.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, …), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 6.

5. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5: 3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 0, 4 сообщений «точка» и 0, 3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что передаваемый сигнал будет принят. Известно, что сигнал был принят, найти вероятность того, что принятый сигнал – «тире».

6. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной кости?

7. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80%. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших.

8. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0.5, 0.6, 0.8. Построить ряд распределения д.с.в. X – числа попаданий в цель.

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

X	– 3
P	0, 1	0, 3	0, 2

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

X\Y	– 1
– 1	0, 1	0, 2	d
	0, 04	0, 2	0, 16

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

 

Вариант 7

 

1. Группа студентов из 11 девушек и 8 юношей выбирает по жребию 5 человек для уборки сада. Сколько существует способов, при которых в эту «пятёрку» попадут: 3 юноши и 2 девушки?

2. Из букв П, И, Г, И, В, Н, Н разрезной азбуки составляется наудачу слово, состоящее из 7 букв. Какова вероятность того, что получится слово «ПИНГВИН»?

3. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число окажется кратным 2 или 5.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1, 2, 3, …), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0, 6.

5. В коробке есть 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из этой коробки наудачу вынуть два новых мяча? Известно, что для второй игры были использованы два новых мяча, какова вероятность того, что в первый раз играли двумя старыми мячами.

6. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0, 8. Найти вероятность того, что к концу года горят три лампы.

7. Аппаратура состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0, 001. Какова вероятность отказа двух элементов за год?

8. Монета подбрасывается 4 раза. Построить рядраспределения д.с.в. Z –числа выпадений герба.

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

X	– 2	-1
P	0, 1	0, 1	0, 2

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание ⇐ Предыдущая123