ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение.

а) Цепь состоит из двух последовательно включённых блоков. Цепь работает, когда два блока работают совместно. Присвоим блокам номера I, II слева направо. Пусть - событие, означающее безотказную работу блока с номером k (k= I, II).Событие B – безотказная работа цепи за время Т, выражается через события следующим образом . Первый блок состоит из одного элемента с номером 5, поэтому . Второй блок состоит из четырёх элементов два из которых (3 и 4) включены последовательно и два (1 и 2) включены параллельно. Поэтому блок работает, когда работает хотя бы один из элементов 1 и 2, или работают элементы 3 и 4 одновременно, либо то и другое вместе, следовательно, . Таким образом, .

б) Так как элементы, а, следовательно, и блоки работают независимо, то можно применить теоремы сложения и умножения вероятностей для взаимно независимых событий. Вероятность события будет равна:

Ответ: а) ; б) 0, 40625.

5. В детском наборе «Кубики» имеется четыре белых, три красных и пять синих кубиков. Один кубик из набора потеряли. Если из оставшегося набора наугад выбрать кубик, то какова вероятность того, что он будет белым? Если выбранный кубик оказался белым, то какова вероятность того, что был утерян синий кубик?

Решение.

Пусть событие – выбранный кубик – белый.

Введем следующие гипотезы:

– был утерян белый кубик;

– был утерян красный кубик;

– был утерян синий кубик.

Из условий задачи находим вероятности:

; ; ;

; ; .

По формуле полной вероятности находим:

С помощью формулы Байеса получаем ответ на второй вопрос задачи:

.

Ответ: .

6. Среди волков встречаются оборотни, доля которых составляет 10%. Какова вероятность, что среди пяти волков окажется не более двух оборотней?

Решение.

Для решения задачи используем схему Бернулли. Здесь число наблюдений n=5. Пусть X – число оборотней среди пяти волков. Тогда по формуле Бернулли получаем:

где p – вероятность того, что произвольно выбранный волк окажется оборотнем. По условию задачи р =0, 1. Таким образом, искомая вероятность равна:

Ответ: 0, 99144.

7. Аппарат состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0, 001. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение.

Для решения задачи используем приближённую формулу в схеме Бернулли – формулу Пуассона. Работу каждого элемента рассматриваем как отдельное испытание. Введём событие A – отказ элемента за год. Имеем: .

По формуле Пуассона: .

Найдём вероятность события B – отказа не менее двух элементов за год: .

Ответ: 0, 2707; 0, 594.

8. В урне 5 белых и 4 чёрных шара. Из неё последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Построить ряд распределения дискретной случайной величины X – числа извлечённых шаров.

Решение.

Возможными значениями с.в. X являются числа . Соответствующие им вероятности найдем, воспользовавшись правилом умножения вероятностей.

.

(Контроль: .)

Таким образом, ряд распределения д.с.в. X имеет вид:

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

Решение.

а) Так как , то .

Таким образом, закон распределения с.в. X имеет вид:

X	– 1
	0, 2	0, 3	0, 2	0, 3

Найдём математическое ожидание с.в. X, используя формулу :

.

Найдём дисперсию с.в. X, используя формулу .

Закон распределения с.в. запишем в виде таблицы распределения:

	0, 3	0, 4	0, 3

Тогда ; . Следовательно, . Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно .

Найдём функцию распределения и построим её график.

По определению функции распределения получаем:

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то

;

если , то

.

Таким образом,

График функции имеет вид:

б) Найдём закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

Возможные значения с.в. Y таковы: , , . Вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих значений с.в. (например, и т.д.). Таким образом:

Y
	0, 3	0, 4	0, 3

Найдём M [ Y ]: .

Ответ: а) ; ; ;

б) .

10. Дана плотность вероятности случайной величины X.

Найти:

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) ;

д) построить графики и .

Решение.

а) Найдём значение параметра С, исходя из того, что .

, а значит, .

Таким образом:

б) Найдём , используя формулу .

в) Найдём математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

,

, тогда и .

г) Найдём ;

.

д) построим графики и .

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:

.

Найти:

а) ;

б) среднее квадратическое отклонение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

Решение.

Сравнив данную функцию

с плотностью нормального распределения, приходим к выводу, что с.в. X имеет нормальное распределение.

а) Очевидно, что .

б) .

в) Значение коэффициента А найдём из равенства , где . Отсюда . Следовательно, плотность вероятности с.в. X имеет вид:

.

г) найдём, используя формулу . Отсюда: .

д) найдём, используя формулу:

.

Значение найдено по таблице значений функции .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

Найти:

а) значение коэффициента d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

Решение.

а) Значение коэффициента d найдём, используя тот факт, что . Коэффициент .

б) Найдём безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

Случайная величина X принимает два значения и . Вероятности этих значений соответственно равны:

, .

Следовательно, закон распределения с.в. X (т.е. безусловный закон распределения компоненты X) можно представить в виде:

X
	0, 65	0, 35

Аналогично получаем безусловный закон распределения компоненты Y:

Y	-1
	0, 35	0, 35	0, 3

в) Найдём математические ожидания и ;

; .

г) Найдём дисперсии и , среднеквадратические отклонения , :

; ;

.

Аналогично:

; ;

; .

д) Найдём корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

Корреляционный момент найдем, используя формулу:

:

Находим коэффициент корреляции:

.

е) Установим, зависимы или нет компоненты X и Y.

Так как , то с.в. X и Y зависимы, т.е. с.в. являются коррелированными.

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:

где .

Найти:

а) значение коэффициента C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания и ;

г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

а) Коэффициент С находим из условия .

Отсюда .

б) Найдём безусловные законы распределения с.в. X и Y;

при ; при .

Так как переменные x и y входят в функцию равноправно, то при ; при .

в) Найдём математические ожидания и ;

Так как переменные x и y входят в функцию равноправно, то .

г) Найдём дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ; ;

Так как переменные x и y входят в функцию равноправно, то .

;

;

д) Найдём корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

Предварительно найдём .

;

.

е) Установим, зависимы или нет компоненты X и Y.

Так как , то X, Y зависимы.