Способы задания плоскости в пространстве

 

Пусть – плоскость в пространстве – фиксированная (начальная) точка плоскости, – базис множества векторов плоскости. Очевидно, что точка пространства принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит множеству , т.е. представляется в виде

(1)

 

для некоторых (рис.1). Зафиксируем в пространстве точку и обозначим и радиус-векторы соответственно точек и Тогда и равенство (1) можно переписать в виде

 

(2)

Формула (2) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости .

 

Рис. 1

Присоединим к точке базис множества векторов пространства, получим аффинный репер в пространстве Пусть и – координаты соответственно точек и в данном репере. Согласно определения 2.1.2, и – координаты также радиус-векторов и в базисе Пусть и – координаты соответственно векторов и в базисе Тогда векторное равенство (2) равносильно трем скалярным равенствам:

(3)

Формулы (3) выражают координатно-параметрическое задание плоскости, они называются координатно - параметрическими уравнениями плоскости В этих формулах – параметры, которые могут принимать любые вещественные значения. При фиксировании значений параметров по формулам (3) вычисляются координаты конкретной точки плоскости.

Еще один способ задания плоскости в пространстве получается, если заметить, что необходимым и достаточным условием принадлежности точки плоскости является компланарность векторов Последнее условие можно выразить через координаты векторов (утверждение 1.8.2) и тем самым записать уравнение плоскости:

 

(4)

 

Раскрывая определитель, получим, что уравнение (4) есть линейное уравнение с тремя неизвестными вида

 

(5)

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости

Хорошо известно, что любая плоскость однозначно определяется своими тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть это будут точки и Выберем в качестве начальной точки плоскости , а в качестве базисных векторов множества – векторы и В этом случае можно записать общее уравнение плоскости по трем точкам:

 

(4)

 

Для случая пространства справедлива теорема, аналогичная теореме 2.3.1 для плоскости.

Теорема 2.4.1. Пусть – аффинный репер в пространстве

(i) Любая плоскость в пространстве может быть задана в данном репере линейным уравнением вида

(5)

(ii) Обратно, любое линейное уравнение (5) при условии, что числа и С не равны нулю одновременно, задает в данном репере плоскость.

Доказательство. Истинность части (i) теоремы была отмечена выше.

(ii) Пусть, для определенности, в уравнении (5). Тогда

– общее решение уравнения (5). Поскольку и могут быть любыми числами, обозначим и будем рассматривать в качестве параметров. Все решения уравнения (5) теперь можно записать в виде:

Сравнивая последние формулы с параметрическими уравнениями (3), можем сделать вывод, что уравнение (5) задает плоскость с начальной точкой и базисными векторами Если в уравнении (5) то или и доказательство проводится аналогично. 

В следующем утверждении описывается геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости.

Утверждение 2.4.1. Пусть – общее уравнение плоскости в репере . Тогда:

(i) плоскость проходит через начало координат ();

(ii) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если );

(iii) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если );

(iv) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если ).

Доказательство этого утверждения предлагается провести читателю самостоятельно в качестве упражнения.

Пусть в уравнении (5) все коэффициенты ненулевые, т.е. плоскость не параллельна координатным осям и не проходит через начало координат. Тогда уравнение (5) можно переписать в виде:

Если ввести обозначения то получим уравнение плоскости в следующем виде:

(6)

Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках, поскольку и – величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (рис. 2).

Рис. 2

 

Будем называть нормальным вектором плоскости любой вектор, перпендикулярный плоскости. Пусть (5) – общее уравнение плоскости в ортонормированном репере В этом случае вектор – нормальный вектор плоскости Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что этот вектор ортогонален вектору построенному по любым точкам плоскости Пусть точки и заданы своими координатами в репере Тогда и

т.е.

Если для плоскости заданы начальная точка своими координатами в ортонормированном репере и нормальный вектор плоскости своими координатами в базисе то можно записать уравнение плоскости в данном репере в виде:

 

(7)

В самом деле, очевидно, что точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (рис. 3). Равенство (7) как раз и выражает это условие.

 

 

Рис. 3