Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Способы задания плоскости в пространстве





 

Пусть – плоскость в пространстве – фиксированная (начальная) точка плоскости, – базис множества векторов плоскости. Очевидно, что точка пространства принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит множеству , т.е. представляется в виде

(1)

 

для некоторых (рис.1). Зафиксируем в пространстве точку и обозначим и радиус-векторы соответственно точек и Тогда и равенство (1) можно переписать в виде

 

(2)

Формула (2) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости .

 

Рис. 1

Присоединим к точке базис множества векторов пространства, получим аффинный репер в пространстве Пусть и – координаты соответственно точек и в данном репере. Согласно определения 2.1.2, и – координаты также радиус-векторов и в базисе Пусть и – координаты соответственно векторов и в базисе Тогда векторное равенство (2) равносильно трем скалярным равенствам:

(3)

Формулы (3) выражают координатно-параметрическое задание плоскости, они называются координатно - параметрическими уравнениями плоскости В этих формулах – параметры, которые могут принимать любые вещественные значения. При фиксировании значений параметров по формулам (3) вычисляются координаты конкретной точки плоскости.

Еще один способ задания плоскости в пространстве получается, если заметить, что необходимым и достаточным условием принадлежности точки плоскости является компланарность векторов Последнее условие можно выразить через координаты векторов (утверждение 1.8.2) и тем самым записать уравнение плоскости:

 

(4)

 

Раскрывая определитель, получим, что уравнение (4) есть линейное уравнение с тремя неизвестными вида

 

(5)

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости

Хорошо известно, что любая плоскость однозначно определяется своими тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть это будут точки и Выберем в качестве начальной точки плоскости , а в качестве базисных векторов множества – векторы и В этом случае можно записать общее уравнение плоскости по трем точкам:

 

(4)

 

Для случая пространства справедлива теорема, аналогичная теореме 2.3.1 для плоскости.

Теорема 2.4.1. Пусть аффинный репер в пространстве

(i) Любая плоскость в пространстве может быть задана в данном репере линейным уравнением вида

(5)

(ii) Обратно, любое линейное уравнение (5) при условии, что числа и С не равны нулю одновременно, задает в данном репере плоскость.

Доказательство. Истинность части (i) теоремы была отмечена выше.

(ii) Пусть, для определенности, в уравнении (5). Тогда

– общее решение уравнения (5). Поскольку и могут быть любыми числами, обозначим и будем рассматривать в качестве параметров. Все решения уравнения (5) теперь можно записать в виде:

Сравнивая последние формулы с параметрическими уравнениями (3), можем сделать вывод, что уравнение (5) задает плоскость с начальной точкой и базисными векторами Если в уравнении (5) то или и доказательство проводится аналогично. 

В следующем утверждении описывается геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости.

Утверждение 2.4.1. Пусть – общее уравнение плоскости в репере . Тогда:

(i) плоскость проходит через начало координат ();

(ii) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если );

(iii) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если );

(iv) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если ).

Доказательство этого утверждения предлагается провести читателю самостоятельно в качестве упражнения.

Пусть в уравнении (5) все коэффициенты ненулевые, т.е. плоскость не параллельна координатным осям и не проходит через начало координат. Тогда уравнение (5) можно переписать в виде:

Если ввести обозначения то получим уравнение плоскости в следующем виде:

(6)

Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках, поскольку и – величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (рис. 2).

Рис. 2

 

Будем называть нормальным вектором плоскости любой вектор, перпендикулярный плоскости. Пусть (5) – общее уравнение плоскости в ортонормированном репере В этом случае вектор – нормальный вектор плоскости Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что этот вектор ортогонален вектору построенному по любым точкам плоскости Пусть точки и заданы своими координатами в репере Тогда и

т.е.

Если для плоскости заданы начальная точка своими координатами в ортонормированном репере и нормальный вектор плоскости своими координатами в базисе то можно записать уравнение плоскости в данном репере в виде:

 

(7)

В самом деле, очевидно, что точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (рис. 3). Равенство (7) как раз и выражает это условие.

 

 

Рис. 3

 

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 2527. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия