Студопедия — Способы задания плоскости в пространстве
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Способы задания плоскости в пространстве






 

Пусть – плоскость в пространстве – фиксированная (начальная) точка плоскости, – базис множества векторов плоскости. Очевидно, что точка пространства принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит множеству , т.е. представляется в виде

(1)

 

для некоторых (рис.1). Зафиксируем в пространстве точку и обозначим и радиус-векторы соответственно точек и Тогда и равенство (1) можно переписать в виде

 

(2)

Формула (2) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости .

 

Рис. 1

Присоединим к точке базис множества векторов пространства, получим аффинный репер в пространстве Пусть и – координаты соответственно точек и в данном репере. Согласно определения 2.1.2, и – координаты также радиус-векторов и в базисе Пусть и – координаты соответственно векторов и в базисе Тогда векторное равенство (2) равносильно трем скалярным равенствам:

(3)

Формулы (3) выражают координатно-параметрическое задание плоскости, они называются координатно - параметрическими уравнениями плоскости В этих формулах – параметры, которые могут принимать любые вещественные значения. При фиксировании значений параметров по формулам (3) вычисляются координаты конкретной точки плоскости.

Еще один способ задания плоскости в пространстве получается, если заметить, что необходимым и достаточным условием принадлежности точки плоскости является компланарность векторов Последнее условие можно выразить через координаты векторов (утверждение 1.8.2) и тем самым записать уравнение плоскости:

 

(4)

 

Раскрывая определитель, получим, что уравнение (4) есть линейное уравнение с тремя неизвестными вида

 

(5)

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости

Хорошо известно, что любая плоскость однозначно определяется своими тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть это будут точки и Выберем в качестве начальной точки плоскости , а в качестве базисных векторов множества – векторы и В этом случае можно записать общее уравнение плоскости по трем точкам:

 

(4)

 

Для случая пространства справедлива теорема, аналогичная теореме 2.3.1 для плоскости.

Теорема 2.4.1. Пусть аффинный репер в пространстве

(i) Любая плоскость в пространстве может быть задана в данном репере линейным уравнением вида

(5)

(ii) Обратно, любое линейное уравнение (5) при условии, что числа и С не равны нулю одновременно, задает в данном репере плоскость.

Доказательство. Истинность части (i) теоремы была отмечена выше.

(ii) Пусть, для определенности, в уравнении (5). Тогда

– общее решение уравнения (5). Поскольку и могут быть любыми числами, обозначим и будем рассматривать в качестве параметров. Все решения уравнения (5) теперь можно записать в виде:

Сравнивая последние формулы с параметрическими уравнениями (3), можем сделать вывод, что уравнение (5) задает плоскость с начальной точкой и базисными векторами Если в уравнении (5) то или и доказательство проводится аналогично. 

В следующем утверждении описывается геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости.

Утверждение 2.4.1. Пусть – общее уравнение плоскости в репере . Тогда:

(i) плоскость проходит через начало координат ();

(ii) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если );

(iii) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если );

(iv) плоскость параллельна оси (если ), или содержит ось (если ).

Доказательство этого утверждения предлагается провести читателю самостоятельно в качестве упражнения.

Пусть в уравнении (5) все коэффициенты ненулевые, т.е. плоскость не параллельна координатным осям и не проходит через начало координат. Тогда уравнение (5) можно переписать в виде:

Если ввести обозначения то получим уравнение плоскости в следующем виде:

(6)

Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках, поскольку и – величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (рис. 2).

Рис. 2

 

Будем называть нормальным вектором плоскости любой вектор, перпендикулярный плоскости. Пусть (5) – общее уравнение плоскости в ортонормированном репере В этом случае вектор – нормальный вектор плоскости Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что этот вектор ортогонален вектору построенному по любым точкам плоскости Пусть точки и заданы своими координатами в репере Тогда и

т.е.

Если для плоскости заданы начальная точка своими координатами в ортонормированном репере и нормальный вектор плоскости своими координатами в базисе то можно записать уравнение плоскости в данном репере в виде:

 

(7)

В самом деле, очевидно, что точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (рис. 3). Равенство (7) как раз и выражает это условие.

 

 

Рис. 3

 

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 2428. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Менадиона натрия бисульфит (Викасол) Групповая принадлежность •Синтетический аналог витамина K, жирорастворимый, коагулянт...

Разновидности сальников для насосов и правильный уход за ними   Сальники, используемые в насосном оборудовании, служат для герметизации пространства образованного кожухом и рабочим валом, выходящим через корпус наружу...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...

Основные структурные физиотерапевтические подразделения Физиотерапевтическое подразделение является одним из структурных подразделений лечебно-профилактического учреждения, которое предназначено для оказания физиотерапевтической помощи...

Почему важны муниципальные выборы? Туристическая фирма оставляет за собой право, в случае причин непреодолимого характера, вносить некоторые изменения в программу тура без уменьшения общего объема и качества услуг, в том числе предоставлять замену отеля на равнозначный...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия