Прямая в пространстве. Как и на плоскости, прямая в пространстве может быть задана параметрически, а также общими уравнениями

Как и на плоскости, прямая в пространстве может быть задана параметрически, а также общими уравнениями. Вывод векторно-параметрического уравнения прямой в пространстве совершенно аналогичен случаю прямой на плоскости.

Пусть – прямая в пространстве , – фиксированная точка, – направляющий вектор прямой Необходимое и достаточное условие того, что точка пространства лежит на прямой формулируется следующим образом:

(векторы и коллинеарны) (рис. 4).

 

Рис. 4 Рис. 5

Пусть – фиксированная точка пространства, – радиус-вектор начальной точки – радиус-вектор произвольной точки пространства. Коллинеарность векторов и означает, что для некоторого Учитывая, что имеем следующую цепочку эквивалентностей:

Таким образом, мы получили векторно-параметрическое задание прямой:

(15)

Равенство (15) называют также векторно-параметрическим уравнением прямой Формула (1) по виду совпадает с соответствующей формулой для прямой на плоскости, отличие только в том, что векторы, участвующие в этой формуле, являются векторами пространства, а не плоскости. Присоединим к точке базис множества векторов пространства получим аффинный репер в пространстве Пусть и – координаты соответственно точек и в данном репере, – координаты направляющего вектора прямой в базисе Тогда векторное равенство (1) равносильно трем скалярным равенствам:

 

(16)

Формулы (2) выражают координатно-параметрическое задание прямой, они называются также координатно - параметрическими уравнениями прямой

Исключая из уравнений (16) параметр получаем равенства

(17)

 

которые называются каноническим уравнением прямой в пространстве. Равенства (17), эквивалентны системе уравнений

Каждое из уравнений системы (как и в случае прямой на плоскости, равенства дробей рассматриваются как пропорции) является линейным уравнением, задающим плоскость. Таким образом, прямая задается здесь как пересечение плоскостей. В общем случае, согласно теореме 2.4.2, система линейных уравнений, задающая прямую, имеет вид

 

(18)

причем коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы не пропорциональны. Уравнения (18) называются общими уравнениями прямой.

Пусть и – прямые в пространстве, заданные начальными точками и направляющими векторами соответственно и Есть четыре варианта их взаимного расположения в пространстве: они могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке либо скрещиваться. По координатам их направляющих векторов (соответственно, и ) легко отличить первые две возможности от двух других: прямые и совпадают или параллельны тогда и только тогда, когда координаты их направляющих векторов пропорциональны:

для некоторого

Приведем также критерий того, что две прямые скрещиваются.

Утверждение 2.4.2. Пусть и – прямые в пространстве, заданные начальными точками и направляющими векторами соответственно и Прямые и скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы и не компланарны.

Доказательство. Условие компланарности векторов и , очевидно, эквивалентно тому, что прямые и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и не компланарны тогда и только тогда, когда прямые и не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются. 

Получим формулу для вычисления расстояния от точки до прямой заданной начальной точкой и направляющим вектором Пусть не лежит на прямой Отложим вектор от точки , получим точку прямой причем точки образуют треугольник. Расстояние от точки до прямой – это длина высоты треугольника проведенной из точки (рис. 5).Следовательно,