Определение взаимного расположения плоскостей по их уравнениям

Докажем вначале теорему в случае, когда уравнения плоскостей даны в ортонормированном репере Как отмечено выше, в рассматриваемом случае векторы и – нормальные векторы соответственно для плоскостей и Очевидно, что плоскости совпадают или параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны, т.е. для некоторого ненулевого числа Это означает, что выполняются равенства:

(10)

т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны. При условии (10) рассмотрим систему уравнений

(11)

Эта система задает пересечение плоскостей Очевидно, что плоскости параллельны тогда и только тогда, когда система (11) не имеет решений; плоскости совпадают тогда и только тогда, когда система (11) имеет бесконечно много решений. Подставляя во второе уравнение и вычитая из него первое уравнение, умноженное на получим, что следствием системы (11) является условие Это условие приводит к противоречию (система (11) не имеет решений), если Следовательно, если плоскости совпадают, то необходимо выполнение условий: Обратно, если соответствующие коэффициенты уравнений пропорциональны, то множества решений этих уравнений совпадают, т.е. Таким образом, доказана справедливость пунктов (i) и (ii), а, следовательно и всей теоремы 2.4.2 в случае ортонормированного репера.

Для завершения доказательства нам потребуется связь между уравнениями одной и той же плоскости в двух различных реперах. Пусть и – два репера и пусть плоскость в репере задана уравнением Воспользуемся формулами преобразования координат точек (формулы (2) или из § 2.1) при переходе от первого репера ко второму:

(12)

Подставив выражения из этих формул в исходное уравнение, получим уравнение плоскости в репере :

Таким образом, уравнение плоскости в репере имеет вид где

Теперь можно завершить доказательство теоремы. Пусть плоскости и заданы своими уравнениями (8) и (9) в произвольном аффинном репере Рассмотрим наряду с этим репером ортонормированный репер В таком случае формулы преобразования координат точек при переходе от репера к реперу имеют вид (12), причем: так как точки О и совпадают. Следовательно, уравнения плоскостей и в репере имеют вид:

где

(13)

Используя формулы преобразования координат при обратном переходе от репера к реперу получим формулы вида (13), выражающие нештрихованные коэффициенты уравнений плоскостей через штрихованные:

(14)

Здесь – элементы обратной матрицы для матрицы Формулы (13) и (14) показывают, все коэффициенты (или только коэффициенты при неизвестных) в уравнениях плоскостей в репере пропорциональны тогда и только тогда, когда они пропорциональны в уравнениях плоскостей в репере Это означает, что теорема справедлива в случае произвольного репера, поскольку для случая ортонормированного репера она доказана.