Студопедия — Задача №1. В этом параграфе мы используем обозначения, введенные в § 3.1, частности, мы считаем, что эллипс, гипербола и парабола заданы в прямоугольной системе
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача №1. В этом параграфе мы используем обозначения, введенные в § 3.1, частности, мы считаем, что эллипс, гипербола и парабола заданы в прямоугольной системе

 

В этом параграфе мы используем обозначения, введенные в § 3.1, частности, мы считаем, что эллипс, гипербола и парабола заданы в прямоугольной системе координат каноническими уравнениями соответственно (1), (3) и (6) из § 3.1.

Определение 3.3.1. Директрисами эллипса и гиперболы называются две прямые и с уравнениями соответственно и . Директрисой параболы называется прямая с уравнением (рис. 7).

 

Рис. 7

Будем говорить, что в случаях эллипса и гиперболы фокус и директриса соответствуют друг другу. Первое общее свойство трех упомянутых фигур выражается следующим утверждением.

Утверждение 3.3.1. Для любой точки эллипса, гиперболы или параболы отношение ее расстояний до фокуса и соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Доказательство. Пусть – произвольная точкаэллипса, – расстояние от до левого фокуса (см. § 3.1), – расстояние от до левой директрисы . Тогда . Для правых фокуса и директрисы доказательство аналогично.

Пусть – произвольная точкагиперболы, – расстояние от до правого фокуса (см. § 3.1), – расстояние от до правой директрисы . Тогда . Для левых фокуса и директрисы доказательство аналогично.

Пусть – произвольная точкапараболы, тогда – расстояние от до фокуса (см. § 3.1), – расстояние от до директрисы . Тогда .

Доказанное свойство является характеристическим для трех фигур.

Утверждение 3.3.2. Пусть – прямая на плоскости , – точка плоскости, не лежащая на , – положительное число.

Тогда фигура , состоящая из всех точек плоскости, для которых отношение расстояний до точки и до прямой постоянно и равно , суть: эллипс, если ; гипербола, если ; парабола, если .

Коротко заключение утверждения можно записать следующим образом:

Доказательство. Выберем прямоугольную систему координат на плоскости так, что ось совпадает с прямой , а ось проходит через точку перпендикулярно . Тогда координаты заданной точки: , где – расстояние от до . Если – произвольная точка плоскости, то уравнение фигуры имеет вид:

или

Преобразовывая уравнение далее, получим:

(1)

Пусть . Вынесем множитель из слагаемых, содержащих , и дополним оставшиеся члены до полного квадрата:

или

.

Введем обозначение и разделим обе части последнего уравнения на . Получим в итоге следующее уравнение фигуры :

 

(2)

Очевидно, что (2) является уравнением эллипса, если , и уравнением гиперболы, если .

Если в уравнении (1), то его можно переписать в виде . Последнее уравнение, очевидно, задает параболу. 

Читателю предлагается в качестве упражнения убедиться в том, что и являются для фигуры соответствующими друг другу фокусом и директрисой.

Второе общее свойство эллипса, гиперболы и параболы, которое мы отметим, заключается в том, что при подходящем выборе полярной системы координат все три фигуры можно задать одним уравнением.

Пусть – эллипс, гипербола или парабола, и соответствующие друг другу фокус и директриса. Зададим полярную систему координат следующим образом. Полюс поместим в точку , полярный луч выберем перпендикулярным прямой , но не пересекающим ее (рис. 8).

 

Рис. 8

 

Прямая , проходящая через точку перпендикулярно полярному лучу, пересекает фигуру в двух симметричных относительно точках и . Пусть – одна из них. Число называется фокальным параметром фигуры . В силу утверждения 3.3.1, для каждой из трех фигур где – эксцентриситет фигуры , – расстояние от до (или, что то же самое, расстояние между параллельными прямыми и ). Несложные вычисления показывают, что для параболы совпадает с числом в ее каноническом уравнении, а для эллипса и гиперболы где и – полуоси. Пусть – произвольная точка эллипса, параболы или той ветви гиперболы, которая лежит между и , заданная своими полярными координатами, – точка пересечения прямой и перпендикуляра к прямой , проведенного из точки . Если точка не совпадает с или , то три попарно различные точки одной прямой и возможны два варианта их взаимного расположения: либо лежит между и (рис. 8, верхняя часть), либо лежит между и (рис. 8, нижняя часть). Расстояние от точки до директрисы равно в первом случае и во втором случае. В обоих случаях = в первом случае и во втором случае. В итоге, в обоих случаях имеем: В силу утверждения 3.3.1, , или Выражая из последнего равенства через , получаем окончательно полярное уравнение

, (3)

которое задает эллипс, параболу или одну ветвь гиперболы.

Далее мы найдем уравнения касательных прямых к эллипсу, гиперболе, параболе.

Если ограничиться первой координатной четвертью, то дуга эллипса, лежащая в этой четверти, является графиком функции

Из школьного курса математики известно, что уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

 

.

В рассматриваемом случае

Следовательно, уравнение касательной:

или .

Так как , получаем окончательно уравнение касательной к эллипсу в точке :

. (4)

Учитывая, что эллипс симметричен относительно координатных осей, нетрудно убедиться, что по формуле (4) задается касательная к эллипсу в его произвольной точке.

Аналогично получаются уравнения касательных к гиперболе:

(5)

и параболе:

(6)

Теперь можно установить так называемые «оптические» свойства эллипса, гиперболы и параболы.

Утверждение 3.3.3. Касательная в любой точке эллипса или гиперболы составляют равные углы с фокальными радиусами этой точки (рис. 9).

Рис. 9

Доказательство. Пусть – точка эллипса. Рассмотрим векторы и , а также направляющий вектор касательной. Пусть и – величины углов соответственно между и , и между и .Тогда:

Таким образом, . Доказательство в случае гиперболы проводится аналогично. 

Физическая (оптическая) интерпретация доказанных свойств следующая:

луч, выпущенный из одного фокуса эллипса, отразившись от эллипса, попадает в другой фокус;

луч, выпущенный из одного фокуса, отразившись от гиперболы, идет по прямой, проходящей через второй фокус и точку отражения.

Утверждение 3.3.4. Касательная в любой точке параболы составляют равные углы с фокальным радиусом этой точки и осью параболы (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. Пусть – точка параболы. Рассмотрим вектор и направляющий вектор касательной. Пусть и – величины углов соответственно между и , и между и осью параболы. Поскольку в рассматриваемом случае ось параболы совпадает с координатной осью , то – величина угла между и базисным вектором системы координат. Тогда:

Таким образом, .

Физическая (оптическая) интерпретация доказанного свойства параболы следующая: луч, выпущенный из фокуса, отразившись от параболы, идет по прямой, параллельной оси параболы. На этом свойстве основаны конструкции прожекторов, фар, передающих и принимающих антенн, в том числе параболических телевизионных.

 

Задача №1

В присутствии фельдшера ФAП мужчина, вынимая оконную раму, разбил стекло. Большой осколок вонзился в ткани нижней трети левого плеча. Мужчина сильно испугался, выдернул стекло, сразу же началось сильное кровотечение.

Объективно: в области передне-внутренней поверхности нижней трети левого плеча рана 5 см х 0, 5 см с ровными краями, из раны пульсирующей струей выбрасывается алая кровь.




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ | 

Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 493. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия